Reihe auf Konvergenz überprüfen

09.01.2016, 12:53	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe auf Konvergenz überprüfen Meine Frage: Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand sagen könnte wie ich diese Reihe auf Konvergenz prüfen kann. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{1}{\left(n^{9}-1 \right)^{\frac{1}{5} } } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Muss ich hier das Majorantenkriterium verwenden, wenn ja wie? Ich habe das noch nicht vollständig durchblickt. Eine Vergleichsreihe wäre ja: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^{\alpha } } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha > 1 \end{eqnarray}$ Kann man den Nenner irgendwie umformen, ich glaube das ist hier mein Hauptproblem. Kann ich das so lösen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\left(n^{9}-1 \right)^{\frac{1}{5} } }\leq \frac{1}{n^{\frac{8}{5} } } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^{\frac{8}{5} }\leq \left(n^{9}-1 \right)^{\frac{1}{5} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^{8} \leq \left(n^{9}-1\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{8}{5} >1 \end{eqnarray}$
09.01.2016, 15:17	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst sicher auf das richtige hinaus, aber deiner Argumentation zu folgen ist etwas schwierig. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[5]{n^{9}-1}} \leq \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[5]{n^{9}}} = \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{{n^{\frac{9}{5}}}} \end{eqnarray}$ Deine Vergleichsreihe als Majorante anzulegen ist dann ganz angebracht. Vorausgesetzt du weißt (und hast bewiesen), ab wann diese konvergiert.
09.01.2016, 15:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@forbin So geschrieben ist es falsch, denn für festes $\begin{align} n \end{align}$ ist ja $\begin{align} n^9-1<n^9 \end{align}$ und folglich $\begin{align} \frac{1}{\sqrt[5]{n^9-1}} ~{\color{red}>}~ \frac{1}{\sqrt[5]{n^9}} \end{align}$ . Mit einem kleinen "Trick", einer Indexverschiebung nämlich, kann man diesen Fauxpas beheben: $\begin{align} \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[5]{n^9-1}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{(n+1)^9-1}} \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[5]{n^9}} \end{align}$ .
09.01.2016, 15:33	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke dann war ich ja nicht ganz falsch unterwegs. Eine Frage noch, wenn ich im Nenner auch was stehen habe so wie hier. Hier habe ich angenommen es ist divergent und eine Minorante gesucht und gefunden. Kann man das so lösen? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{-5k\cdot \left(-1\right)^{k} }{k-11} \geq \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{1}{k-11} \geq \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{1}{k} \end{eqnarray}$
09.01.2016, 15:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenglied $\begin{align} \frac{-5k\cdot \left(-1\right)^{k} }{k-11} \end{align}$ erfüllt nicht mal die Mindestvoraussetzung für Reihenkonvergenz: Dass es nämlich eine Nullfolge sein muss. Insofern erübrigen sich weitere Betrachtungen. EDIT: Übrigens eine sehr seltsame Reihe, da es bei k=11 ein unverzeihliches Definitionsproblem des Reihenglieds gibt (Division durch 0).
09.01.2016, 15:53	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank habe die Angabe richtig abgeschrieben wird wohl ein Angabefehler sein mit dem Definitionsproblem. Wünsche noch ein schönes Wochenende.
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09.01.2016, 18:16	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenns gelöst ist, aber danke für den Hinweis, HAL.

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