Komplexe Zahlen

09.01.2016, 15:55

Wait8

Komplexe Zahlen

Hallo,
ich habe eine Übungsaufgabe aus den komplexen Zahlen, wo ich nicht weiterkomme bzw. nicht sehen kann, wo ich einen Fehler gemacht habe. Wolframalpha sagt mir, es kommt (1/256-1/256i) heraus.

Die Aufgabenstellung lautet diese Potenz in die algebraische Normalform umzuwandeln: z=((2^-1/5)*(1+i)))^-2

09.01.2016, 16:00

Wait8

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Habe ich glatt vergessen, der passende Link dazu: Wolframalpha

Meine Vorgehensweise war diese: Den gesamten Ausdruck in Klammern und in ()^-25 stellen.
Dann die 5.Wurzel aus 2 mit der Potenz verrechnen. Heraus kommt: 32
Den Klammerausdruck (1+i) habe ich in die e-Form umgestellt. Heraus kommt dementsprechend:
Wurzel (2)*e^(1/4pi).
Allerdings, wenn ich den Klammerausdruck mit der -25 potenziere, habe ich etwas, was mir aber nur bedingt weiter hilft.
Anders gesagt: Ich bin jetzt so angekommen: KLICK
oder wie ich es geschrieben habe:

http://up.picr.de/24231717vi.jpg

Nun habe ich folgendes Problem: Wie solle ich weitermachen? Den Bruch habe ich natürlich als ()^-25 darstehen.
Könnte mir jemand weiterhelfen?

09.01.2016, 16:02

Mathema

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Da stimmt was nicht, drei Klammern gehen auf und 4 zu... unglücklich

Ich vermute den Fehler in Zeile 3, aber meine Glaskugel ist etwas verstaubt. Im Ernst: Wie sollen wir den Fehler benennen, wenn du uns keine Rechnung zeigst?

09.01.2016, 16:28

Mathema

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Da kam ja doch noch was. Es geht also um:

$\begin{eqnarray*} z=(\tfrac{1}{\sqrt[5]{2} }+\tfrac{1}{\sqrt[5]{2}}i)^{-25} \end{eqnarray*}$

Dann schreibe in Polardarstellung und nutze die Formel von Moivre bzw. Euler.

09.01.2016, 16:40

Wait8

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Danke für deine Antwort. Da liegt aber folgendes Problem bei mir vor:

Ich muss die Aufgabe ohne TR oder sonstige Aufgabe lösen (ist eine quasi Prüfungsaufgabe)

So habe ich die auch schon probiert, nur wenn ich die Länge des Zeigers haben möchte, müsste ich die
5. Wurzel aus 2 quadrieren (einmal für Real und Imaginärteil) und hätte unter
der Wurzel: 2x(2^-2/5).
Vielleicht gibt es da einige Tricks, die ich nicht kenne, aber daraus dann die Wurzel zu ziehe, wäre ein wenig viel für mich.
Der Winkel phi ist aber kein Problem, da sich die beiden im arctan kürzen und der arctan von 1 ja pi/4 beträgt
Hättest du da noch einen Lösungsvorschlag?

09.01.2016, 16:51

Mathema

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Vielleicht so?

$\begin{eqnarray*} z=(\tfrac{1}{\sqrt[5]{2} }+\tfrac{1}{\sqrt[5]{2}}i)^{-25}=((\tfrac{1}{\sqrt[5]{2} }+\tfrac{1}{\sqrt[5]{2}}i)^2)^{-12}\cdot(\tfrac{1}{\sqrt[5]{2} }+\tfrac{1}{\sqrt[5]{2}}i)^{-1} \end{eqnarray*}$

09.01.2016, 17:21

Wait8

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Da wäre wieder das Problem, dass das Ergebnis in der Normalform sein muss.
Ach, du hast mich auf eine Idee gebracht smile

.
Die Frage wäre hier: Ist das mathematisch erlaubt? Denn der Winkel bleibt ja der gleiche, nur tue ich den Einheitskreis statt 25 mal, einmal benutzen.
Nun habe ich allerdings das Problem mit der Wurzel 2...
Wäre die Potenz nicht da, könnte ich die jeweiligen Wurzel 2 aus dem Cos/Sinus miteinander multiplizieren und hätte da ein schönes Ergebnis.
Hier mal ein Foto:

http://up.picr.de/24232825sr.jpg

Jetzt stellt sich mir die Frage: Wie kommt man den auf das Ergebnis vom Wolfram verwirrt

09.01.2016, 17:42

Mathema

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Zitat:

Da wäre wieder das Problem, dass das Ergebnis in der Normalform sein muss.

Wo ist da denn nun das Problem?

$\begin{eqnarray*} (\tfrac{1}{\sqrt[5]{2} }+\tfrac{1}{\sqrt[5]{2}}i)^2=2\cdot2^{-\tfrac{1}{5}}\cdot2^{-\tfrac{1}{5}}i=2^{\tfrac{3}{5}}i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2^{\tfrac{3}{5}}i)^{-12}=2^{\tfrac{-36}{5}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{\tfrac{-36}{5}}}{2^{-\tfrac{1}{5}}+2^{-\tfrac{1}{5}}i}=... \end{eqnarray*}$

Weiter habe ich nun nicht gerechnet, aber das wird man doch wohl nun auch ohne TR in deine gewünschte Normalform bringen können, oder nicht?

edit: Ich habe deine Rechnung nun nicht im Detail geprüft, aber sie scheint doch auch das richtige Ergebnis zu liefern, wenn du mal sämtliche Zahlen als Potenz mit Basis 2 schreibst und das passende Potenzgesetz anwendest.

10.01.2016, 18:46

Wait8

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Habe die Aufgabe jetzt so gelöst, wie im Bild zu sehen ist.
Wenn man die Klammer mit dem Vorfaktor multiplizierst, dann kommt man direkt auf das Ergebnis von Wolframalpha, diese 1/256+1/256i

http://up.picr.de/24246533wx.jpg

Ich könnte das mit der Wurzel durch Potenzen anders lösen,aber ich denke das geht auch so.
Danke für deine Hilfe smile

10.01.2016, 19:03

Mathema

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Da sind meine Augen wohl zu alt für deinen Scan, aber wenn du auf das Ergebnis kommst...

Bei meinem Ansatz fehlt doch auch nicht viel:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{\tfrac{-36}{5}}}{2^{-\tfrac{1}{5}}+2^{-\tfrac{1}{5}}i}=\frac{2^{\tfrac{-36}{5}}(2^{-\tfrac{1}{5}}-2^{-\tfrac{1}{5}}i)}{(2^{-\tfrac{1}{5}}+2^{-\tfrac{1}{5}}i)(2^{-\tfrac{1}{5}}-2^{-\tfrac{1}{5}}i)}=\frac{2^{\tfrac{-37}{5}}-2^{\tfrac{-37}{5}}i}{2\cdot2^{\tfrac{-2}{5}}}=\frac{2^{\tfrac{-37}{5}}-2^{\tfrac{-37}{5}}i}{2^{\tfrac{3}{5}}}=2^{-8}-2^{-8}i \end{eqnarray*}$

smile

10.01.2016, 20:10

Wait8

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Ja, das Foto ist nicht besonders gut geworden, hab nicht die höchste Auflösung des Hosters genommen.

Aufjedenfall Danke für deinen Lösungsweg, müsste den auch mal durchgehen smile

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