Fourier Reihe Einweggleichrichter

09.01.2016, 17:26	Ferdi Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourier Reihe Einweggleichrichter Meine Frage: Ich soll eine Fourierreihe eines Einweggleichrichters mit der Periodendauer T und der Amplitude A entwickeln. Die Lösung im Anhang habe ich aus dem Papula (Band 2, 12. Auflage, S. 187). Nur der Weg dorthin ist mir noch nicht ganz klar. Meine Ideen: Ich nehme mir also die Formel für die Fourier Zerlegung einer nichtsinusförmigen Schwingung her: $\begin{eqnarray} y(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos(nw_{0}t)+b_{n}\sin(nw_{0}t)\right] \end{eqnarray}$ und berechne die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ bekomme ich dieselbe Lösung wie im Papula. Für $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ habe ich folgendes berechnet: $\begin{eqnarray} a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}\!y(t)cos(nw_{0}t)\,dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n}=\frac{2}{T}\left[\int_{0}^{\frac{T}{2}}\!Asin(w_{0}t)cos(nw_{0}t)\,dt+\int_{\frac{T}{2} }^{T}\!0cos(nw_{0}t)\,dt\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n}=\frac{2A}{T}\left[-\frac{cos((w_{0}-nw_{0})t)}{2(w_{0}-nw_{0})}-\frac{cos((w_{0}+nw_{0})t)}{2(w_{0}+nw_{0})}\right]_{0}^{\frac{T}{2}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} w_{0}=\frac{2\pi}{T} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a_{n}=2A\left[-\frac{cos(\pi(n-1)}{4\pi(n-1)}-\frac{cos(\pi(n+1)}{4\pi(n+1)}+\frac{1}{4\pi(n-1)}+\frac{1}{4\pi(n+1)}\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n}=2A\left[\frac{1}{4\pi(n-1)}(-cos(\pi(n-1)+1)+\frac{1}{4\pi(n+1)}(-cos(\pi(n+1)+1)\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=1 \Rightarrow a_{n}=2A\left[0+0\right]=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=2 \Rightarrow a_{n}=2A\left[\frac{1}{2\pi}+\frac{1}{6\pi}\right]=2A\frac{2}{3\pi}=\frac{2A}{\pi}\frac{2}{13} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=3 \Rightarrow a_{n}=2A\left[0+0\right]=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=4 \Rightarrow a_{n}=2A\left[\frac{1}{6\pi}+\frac{1}{10\pi}\right]=2A\frac{4}{15\pi}=\frac{2A}{\pi}\frac{4}{35} \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} a_{n}=\frac{2A}{\pi}\left[\frac{2}{13}cos(2w_{0}t)+\frac{4}{35}cos(4w_{0}t)+\frac{6}{57}cos(6w_{0}t)...\right] \end{eqnarray}$ Das sieht ja schonmal ähnlich aus wie im Papula. Ich habe nur kein Minus als Vorzeichen und ein n anstelle der 1. Für $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ habe ich folgendes berechnet: $\begin{eqnarray} b_{n}=\frac{2}{T}\left[\int_{0}^{\frac{T}{2}}\!Asin(w_{0}t)sin(nw_{0}t)\,dt+\int_{\frac{T}{2} }^{T}\!0sin(nw_{0}t)\,dt\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_{n}=\frac{2A}{T}\left[\frac{sin((w_{0}-nw_{0})t)}{2(w_{0}-nw_{0})}-\frac{sin((w_{0}+nw_{0})t)}{2(w_{0}+nw_{0})}\right]_{0}^{\frac{T}{2}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} w_{0}=\frac{2\pi}{T} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} b_{n}=2A\left[\frac{sin(\pi(n-1)}{4\pi(n-1)}-\frac{sin(\pi(n+1)}{4\pi(n+1)}-0-0\right] \end{eqnarray}$ Da der Sinus von ganzzahligen Vielfachen von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ immer 0 wird, ist $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ für alle n gleich 0. Das heißt, meine Fourier Reihe wäre folgende: $\begin{eqnarray} y(t)=\frac{A}{\pi}+\frac{2A}{\pi}\left[\frac{2}{13}cos(2w_{0}t)+\frac{4}{35}cos(4w_{0}t)+\frac{6}{57}cos(6w_{0}t)...\right] \end{eqnarray*}$ Kann mir bitte jemand sagen wo meine Fehler liegen, damit ich zu der Lösung aus dem Papula komme? Da es sich um eine Aufgabe aus einem Assignment handelt, das in meine Note einfließt, wäre ich für jede Hilfe sehr dankbar.
10.01.2016, 13:56	Ferdi Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, einen Fehler hab ich selbst gefunden: überall wo bei Kosinus oder Sinus (n-1) steht, müsste eigentlich (1-n) stehen. Dadurch wird das $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ dann auch richtig. Jetzt müsste ich nur noch wissen, wie der Papula auf den Sinus Term kommt: $\begin{eqnarray} \frac{A}{2}\sin(w_{0}t) \end{eqnarray*}$
10.01.2016, 15:47	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Willkommen im Matheboard! Für n=1 ergibt $\begin{align} \frac {\sin ax}x \end{align}$ nicht Null, auch wenn x gegen Null geht! Berechne den entsprechenden Grenzwert. Viele Grüße Steffen
11.01.2016, 02:32	Ferdi Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
übertragen auf meine Aufgabe heißt das also, dass: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to 1} b_{n}=2A\left[\frac{\sin(\pi(1-n))}{4\pi(1-n)}-\frac{\sin(\pi(1+n))}{4\pi(1+n)}-0-0\right]=2A\left[\frac{1}{4}-0-0-0\right] \end{eqnarray}$ Damit komme ich dann auch zu der Lösung aus dem Papula: $\begin{eqnarray} \Rightarrow b_{n}=\frac{A}{2}\sin(w_{0}t) \end{eqnarray*}$ Danke für die Hilfe!

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