Jedes Ideal Hauptideal -> Körper?

10.01.2016, 09:41

eni22082

Jedes Ideal Hauptideal -> Körper?

Meine Frage:
Hallo,
sei K ein kommutativer unitärer Ring, jedes Ideal von K[t] ein Hauptideal. Ist K ein Körper?

Meine Ideen:
Wenn K nullteilerfrei wäre, wäre die Behaupting klar, ist hier aber nicht der Fall. Daher würde ich sagen, dass K in dem Fall nicht notwendigerweise ein Körper ist. Ich finde aber leider kein Gegenbeispiel. Hat jemand eine Idee?

10.01.2016, 11:01

tatmas

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Gegenbeispiele müssen artinsche Ringe sein.
Also z.B. $\begin{eqnarray*} K=k[x]/(x^2) \end{eqnarray*}$ für irgendeinen Körper k.

10.01.2016, 17:56

jester.

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Hallo,

das Gegenbeispiel von tatmas wird nicht funktionieren, denn in der Tat ist folgendes richtig:

Zitat:

THEOREM TFAE for a semigroup ring R[S], with unitary ring R, and nonzero torsion-free cancellative monoid S.

1) R[S] is a PIR (Principal Ideal Ring)
2) R[S] is a general ZPI-ring (i.e. a Dedekind ring, see below)
3) R[S] is a multiplication ring (i.e. $\begin{eqnarray*} I \supseteq J \Longrightarrow I \mid J \end{eqnarray*}$ for ideals I,J)
4) R is a finite direct sum of fields, and S is isomorphic to $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ or $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Quelle: math.stackexchange.com - dort werden auch massenhaft entsprechende Publikationen genannt.

Zum Verständnis: der Polynomring in einer Variablen ist der Monoidring von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ (hier mit $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ).

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