Hauptidealbereich, beweisen

10.01.2016, 11:26	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptidealbereich, beweisen Warum ist $\begin{eqnarray} (m)=m \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ein Hauptidealring? Also warum wird jedes Ideal in $\begin{eqnarray} m\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ von einen Element von $\begin{eqnarray} m\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ erzeugt? Ich habe nur per Google gefunden, dass $\begin{eqnarray} m\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ als Untergruppe der zyklischen Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}, +) \end{eqnarray}$ auch wieder zyklisch ist und dass daraus folgt- dass $\begin{eqnarray} m \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein Hauptideal ist. Ich sehe den Zuammenhang zwischen der zyklischen Gruppe und einen Hauptidealring nicht.
10.01.2016, 12:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptidealbereich, beweisen Algebra ist nicht so meins, aber man sollte jeden Erzeuger eines Ideals explizit angeben können, indem man eine der betragskleinsten Zahlen nimmt und zeigt, dass das Ideal davon erzeugt wird.
16.01.2016, 10:11	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Praktisch verstehe ich das ja. Aber wie sieht der Beweis dazu aus? Sei K sein Ideal in $\begin{eqnarray} m \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ d.h. alle Elemente in K haben die Gestalt $\begin{eqnarray} ml \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} l \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Nach Beitrag 1 ist $\begin{eqnarray} m \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ zyklisch, d.h. $\begin{eqnarray} \exists mk \in m \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} <mk>= m \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Insbesondere kann jedes Element in K durch ein ganzahliges Vielfaches von $\begin{eqnarray} mk \end{eqnarray}$ dargestellt werden. Man kann doch nun nicht unendlich viele ausprobieren und den betragskleinsten wählen?
16.01.2016, 13:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptidealbereich, beweisen Sei $\begin{eqnarray} K \subset m\mathbb Z \end{eqnarray}$ ein Ideal. Dann ist $\begin{eqnarray} k = \min \{ n \in K \| n > 0 \} \end{eqnarray}$ wohldefiniert und offensichtlich $\begin{eqnarray} (k) \subset K \end{eqnarray}$ . Nun musst du noch zeigen, dass wirklich Gleichheit gilt. Angenommen nicht, dann existiert $\begin{eqnarray} l \in K, l \not\in (k) \end{eqnarray}$ . Nun kann man sich aus dem $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ eine Zahl konstruieren, die positiv ist, in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ liegt (weil $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Ideal ist) und kleiner als $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist -- was ein Widerspruch zur Definition von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist.
20.02.2016, 13:13	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Ich habe ganz vergessen hier zu antworten um mich zu bedanken! Habe Division mit Rest verwendet: $\begin{eqnarray} l=qk+r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r<k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q,r \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ So ist $\begin{eqnarray} l-qk =r \in K \end{eqnarray}$ , was ein Widerspruch zur definition von k ergibt. Liebe Grüße, MaGo
20.02.2016, 15:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptidealbereich, beweisen Genau das war auch meine Idee
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