Konvergenz von Reihen

10.01.2016, 11:49

Oggel

Konvergenz von Reihen

Hallo liebe Community,

gegeben ist folgende Reihe, die auf Konvergenz geprüft werden soll:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{4n^2+2n-3}{3n^4-n^3-7} \end{eqnarray*}$

Kann man das folgendermaßen abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{4n^2+2n-3}{3n^4-n^3-7} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{4n^2+2n-3}{3n^4} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{3*4n^2}{3n^4} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 4 * \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ die konvergente Majorantenreihe, und somit konvergiert auch die gegebene Reihe.

Wäre das so richtig?

10.01.2016, 12:54

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RE: Konvergenz von Reihen
Die erste Abschätzung ist schon falsch. Der Nenner wird größer, also der (positive) Quotient kleiner.

10.01.2016, 16:16

Oggel

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Achja klar stimmt.

Was wäre der erste schritt beim abschätzen?

10.01.2016, 16:28

Mulder

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RE: Konvergenz von Reihen
Es gibt da nicht DEN ersten Schritt.

Deine prinzipielle Richtung mit der konvergenten Majorante ist doch richtig. Und wenn du diesen Bruch vergrößern willst, musst du entweder den Zähler vergrößern oder den Nenner verkleinern. Damit ist die Marschrichtung doch klar, da probier mal ein bisschen rum. Das sollte eigentlich machbar sein. Und man entwickelt nur ein Gespür für sowas, wenn man es selber übt.

10.01.2016, 20:06

Oggel

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Wäre folgende Abschätzung richtig :

$\begin{eqnarray*} \frac{4n^2+2n-3}{3n^4-n^3-7} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{6n^2}{3n^4-n^3-7} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{6n^2}{3n^4-2n^4} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{6n^2}{n^4} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 6*\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ die Majorantenreihe und die Reihe konvergiert.

Kann man das so machen?

11.01.2016, 20:21

Oggel

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push

11.01.2016, 20:49

URL

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Kann man so machen. Allerdings gelten deine Abschätzungen nicht für alle n. Darüber musst du noch etwas sagen, sonst gibt's Punktabzug - jedenfalls in der Anfängervorlesung Big Laugh

12.01.2016, 08:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Oggel
Damit ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ die Majorantenreihe und die Reihe konvergiert.

Vermutlich meinst du $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n^2} \end{eqnarray*}$ . smile

12.01.2016, 09:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von URL
Allerdings gelten deine Abschätzungen nicht für alle n.

Richtig, die Ungleichungskette in allen Einzelabschätzungen gilt nur für alle $\begin{align*} n\geq 2 \end{align*}$ .

Lustigerweise gilt die Quintessenz $\begin{align*} \frac{4n^2+2n-3}{3n^4-n^3-7} < \frac{6}{n^2} \end{align*}$ dann aber sogar auch wieder für $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ , so dass letztlich die Majorantenwertabschätzung durch $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n^2} \end{align*}$ sogar stimmt. Augenzwinkern

12.01.2016, 10:11

Oggel

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Alles klar danke euch smile

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