Umordnung einer Reihe

10.01.2016, 15:18

Minni227

Umordnung einer Reihe

Meine Frage:
Hallo,

Ich bräuchte bitte Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Die Aufgabe findet ihr als Bild im Anhang

Meine Ideen:

Es ist ja gegeben:
$\begin{eqnarray*} S_{n} = 1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 - 1/6 + ... + ... - ... \end{eqnarray*}$

Dann dachte ich, es geht so weiter:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+4n} + \frac{1}{3+4n} - \frac{1}{2n-1} \end{eqnarray*}$

Wenn die Reihe umgeformt ist, soll sie gegen $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}s \end{eqnarray*}$ konvergieren
Alaso dachte ich, ich addiere soviel, bis es $\begin{eqnarray*} \geq \frac{3}{2}s \end{eqnarray*}$ giltund dann subtrahiere ich bis $\begin{eqnarray*} \leq \frac{3}{2}s \end{eqnarray*}$ gilt

Dann komme ich auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} S'_{n} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{2}<br /> + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15} - \frac{1}{4}<br /> + \frac{1}{17} + \frac{1}{19} + \frac{1}{21} + \frac{1}{23} + \frac{1}{25} - \frac{1}{6} <br /> + \frac{1}{27} + \frac{1}{29} + \frac{1}{31} + \frac{1}{33} + \frac{1}{35} - \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$
usw.

Bin ich soweit auf dem richtigen Weg?
Und wenn ja, wie gehe ich weiter vor?

Muss ich dann die Differenz bilden aus $\begin{eqnarray*} S_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S'_{n} \end{eqnarray*}$ ? Wenn die Differenz = 0 ist, dann haben sie doch den selben Grenzwert, wenn sie ungleich 0 ist, dann gegen verschiedene Grenzwerte.
Aber das hilft mir hier doch nicht, oder? Ich soll doch nur zeigen, dass die Umformung gegen $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}s \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn ich das richtig verstehe?

Danke schon mal, für jede Hilfe

[attach]40401[/attach]

Edit(Nick): Anhang hier eingefügt, zweiten Beitrag gelöscht. Bitte beim nächsten Mal die Editierfunktion nutzen. smile

10.01.2016, 15:57

Leopold

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RE: Umordnung einer Reihe

Zitat:

Original von Minni227
Dann dachte ich, es geht so weiter:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+4n} + \frac{1}{3+4n} - \frac{1}{2n-1} \end{eqnarray*}$

Da sind Indizes nicht korrekt verschoben worden.

Das wird wohl nur mit einem Trick gehen.

$\begin{align*} s = \color{blue} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \color{black} - \frac{1}{4} \color{red} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \color{black} - \frac{1}{8} \color{green} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} \color{black}- \frac{1}{12} +- \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{2} s = \color{blue} \frac{1}{2} \color{black} - \frac{1}{4} \color{red} + \frac{1}{6} \color{black} - \frac{1}{8} \color{green} + \frac{1}{10} \color{black} - \frac{1}{12} +- \end{align*}$

Ich glaube, da habe ich schon zu viel verraten ...

10.01.2016, 16:42

Minni227

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RE: Umordnung einer Reihe

Zitat:

Dann dachte ich, es geht so weiter: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+4n} + \frac{1}{3+4n} - \frac{1}{2n-1} \end{eqnarray*}$

Also das stimmt nicht? Warum nicht?

Welche Indizes meinst du denn?

Und wieso schreibst du $\begin{eqnarray*} 1/2 s \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Ich glaube, da habe ich schon zu viel verraten ...

Ich fürchte nicht - bin etwas verwirrt

Entschuldigung traurig

Zitat:

Alaso dachte ich, ich addiere soviel, bis es $\begin{eqnarray*} \geq \frac{3}{2}s \end{eqnarray*}$ giltund dann subtrahiere ich bis $\begin{eqnarray*} \leq \frac{3}{2}s \end{eqnarray*}$ gilt

Diese Vorgehensweise ist also nicht richtig?

Aber wenn ich deine letzte Zeile ausrechne, dann nähere ich mich doch auch nicht $\begin{eqnarray*} 3/2 \end{eqnarray*}$ an ...

10.01.2016, 16:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Minni227
Also das stimmt nicht? Warum nicht?

Bei den Brüchen, die subtrahiert werden, steht jeweils eine gerade Zahl im Nenner.

Du schreibst aber $\begin{align*} -\frac{1}{2n-1} \end{align*}$ : Ist $\begin{align*} 2n-1 \end{align*}$ eine gerade Zahl?

10.01.2016, 17:04

Minni227

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oh, da habe ich einen Fehler gemacht, stimmt
Das soll natürlich $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ heißen Hammer

Aber stimmt das denn vom Prinzip? Also was ich hier mache?

10.01.2016, 17:50

Leopold

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Zitat:

Original von Minni227
Das soll natürlich $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ heißen Hammer

Oder "noch richtiger": $\begin{align*} - \frac{1}{2n+2} \end{align*}$ , wenn es zu den anderen beiden passen soll.

Zitat:

Original von Minni227
Aber stimmt das denn vom Prinzip? Also was ich hier mache?

Deine Idee ist prinzipiell richtig und liefert ein konstruktives Verfahren zur Bestimmung von $\begin{align*} \frac{3}{2} s \end{align*}$ . Allerdings hast du dich verrechnet. Wendet man nämlich deine Idee an, so kommt man auf die vorgegebene Reihe.
Der Haken an der Sache ist, daß du, so scheint es mir, numerisch vorgehst. Ansonsten müßtest du das Konstruktionsprinzip näher erläutern. Jetzt kann man in der Mathematik durchaus den Standpunkt vertreten, und das wird auch oft genug getan, daß eine Folge schon hinreichend bestimmt ist, wenn man ein konstruktives Verfahren für ihre Folgenglieder angeben kann. Hier ist das aber, denke ich, nicht so gemeint. Hier soll konkret nachgewiesen werden, daß die im "Hinweis" angegebene Reihe gegen $\begin{align*} \frac{3}{2} s \end{align*}$ konvergiert.
Wie man das machen kann, zeigt mein voriger Beitrag. Addiere die beiden Zeilen und fasse farbenweise zusammen.

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