Basis und Exponent einer komplexen Zahl

10.01.2016, 19:42

hybernate5

Basis und Exponent einer komplexen Zahl

Hallo im neuen Jahr,
alles Gute und gleich ne Bitte:

brauche Theorie zur komplexen Potenz einer komplexen Zahl:

also: z=a+bi ; w=c+di und jetzt z^w, also z und w € C.

Link dazu wäre perfekt.
Können auch Mehrere sein.
Bitte, bloß nicht Potenz mit n € N!
Danke

hybernate5

10.01.2016, 20:18

Steffen Bühler

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RE: Basis und Exponent eine komplexe Zahl
Es ist ja $\begin{align*} (a+bi)^{c+di}=(a+bi)^c \cdot (a+bi)^{di} \end{align*}$ . Drücke also a+bi polar aus und vereinfache dann.

Viele Grüße
Steffen

10.01.2016, 21:17

Leopold

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So einfach funktioniert das nicht. Du kannst aus dem Reellen bekannte Potenzgesetze nicht ins Komplexe übertragen.

Die komplexe Potenz ist folgendermaßen definiert:

$\begin{align*} z^w = \operatorname{e}^{w \cdot \log z} \end{align*}$

Hierin steht der Logarithmus für den komplexen Logarithmus mit seiner gesamten Mehrdeutigkeit. Gegebenenfalls muß genauer spezifiziert werden, welcher Wert zu nehmen ist.

Beispiel:

$\begin{align*} \operatorname{i}^{\operatorname{i}} = \operatorname{e}^{- \frac{1}{2} \pi (4k+1)} \, , \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$

10.01.2016, 21:56

hybernate5

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Hallo,

vielen Dank für die Tipps.
Habe folgendes versucht: leider zeigt mir Editor einen fehler an und ich weiß nicht woran es liegt (brauch also auch hier Hilfe-verdammt!)

Lag an den ü bei "für". Hab mal "fuer" draus gemacht.
Allerdings wird es mir jetzt zu spät. Leopold (oder jemand anders), kannst Du die Nachtschicht übernehmen?
Steffen

$\begin{eqnarray*} z = r*e^(i\alpha ) = e^(ln(r))*e^(i\alpha ) = = e^(ln(r)+i(\alpha +k2\pi )) mit r = |z| = \sqrt{a^{2} +b^{2} } und \alpha = acos(\frac{a}{r} = atan(\frac{b}{a} , z^{w} = e^(ln(r)+i(\alpha +k2\pi ))^{w} = = e^(w*ln(r)+i*w*(\alpha +k2\pi )) = = e^((c+di)*ln(r)+i*(c+di)*(\alpha +k2\pi )) = = e^(c*ln(r)-d*(\alpha +k2\pi )) fuer Re + e^(i*(d*ln(r)+c*(\alpha +k2\pi )) fuer Im \end{eqnarray*}$

10.01.2016, 22:04

hybernate5

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Danke Steffen,

die Klammern? Oh und e^( statt e(
und am Ende die dritte Klammer ) fehlt
OmG

10.01.2016, 22:26

hybernate5

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Ich habs nochmals umgeschrieben, hoffentlich klappt es jetzt.
Entschuldigung.

$\begin{eqnarray*} z = r*exp(i\alpha ) = exp(ln(r))*exp(i\alpha ) = exp(ln(r)+i(\alpha +k2\pi )) mit r = |z| = \sqrt{a^{2} +b^{2} } und \alpha = acos(\frac{a}{r}) = atan(\frac{b}{a}) , z^{w} = exp(ln(r)+i(\alpha +k2\pi ))^{w} = exp(w*ln(r)+i*w*(\alpha +k2\pi )) = exp((c+di)*ln(r)+i*(c+di)*(\alpha +k2\pi )) = exp(c*ln(r)-d*(\alpha +k2\pi )) fuer Re + exp(i*(d*ln(r)+c*(\alpha +k2\pi ))) fuer Im \end{eqnarray*}$

11.01.2016, 09:51

Steffen Bühler

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Die Zeile $\begin{align*} \alpha = \arctan \frac ba \end{align*}$ ist problematisch, denn sie gilt nur für a>0. Korrekt ist hier $\begin{align*} \tan \alpha = \frac ba \end{align*}$ .

Danach stimmt's bis zu $\begin{align*} e^{(c+di) \cdot \ln r + i \cdot (c+di) \cdot (\alpha +2k\pi )} \end{align*}$ .

Aber so schnell können Real- und Imaginärteil danach leider noch nicht hingeschrieben werden! Denn zunächst ist $\begin{align*} e^{(x+iy) \cdot p + i \cdot (x+iy) \cdot q} = e^{xp + iyp +ixq + i^2yq} = e^{(xp-yq) + i(yp+xq)} = e^{xp-yq} \cdot e^{i(yp+xq)} \end{align*}$

Und von dieser komplexen Zahl mit Betrag $\begin{align*} e^{xp-yq} \end{align*}$ und Winkel $\begin{align*} yp+xq \end{align*}$ ist nun wie üblich Real- und Imaginärteil zu bestimmen.

11.01.2016, 11:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Hierin steht der Logarithmus für den komplexen Logarithmus mit seiner gesamten Mehrdeutigkeit.

Wobei es Auffassungen gibt, da nur den Hauptwert zu nehmen, z.B. gibt MuPAD ohne Mehrdeutigkeitswarnung direkt nur $\begin{align*} i^i = e^{-\frac{\pi}{2}} \end{align*}$ aus. Man sollte also von Fall zu Fall sorgfältig ergründen, was jeweils mit der Potenz gemeint ist.

11.01.2016, 12:18

Leopold

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Mit diesem Satz hier wollte ich mich gegen andere Auffassungen absichern.

Zitat:

Original von Leopold
Gegebenenfalls muß genauer spezifiziert werden, welcher Wert zu nehmen ist.

11.01.2016, 13:11

hybernate5

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Danke Stefen für deinen Hinweis.

1)
atan ist wie du sagst problematisch, da man nach den Quadranten schauen muss und enstprechend +pi oder -pi bzw. +-(pi/2) dazu/statt schalten muss. Stimmt!

acos ist da leichter zu merken, da man nur nach b schauen muss: +acos bei b>=0 oder mit -acos für b<0. (gehe von meinen obigen Vorgaben aus: z=a+bi und r=|z|)

Da acos(a/r) den Winkel in Grad liefert, muss alpha=acos(a/r)*(2pi/360) als rad sein. Stimmts?

2)
die Reihe: fuer Re- stellt hiermit den Betrag |B| der Potenz dar,
die Reihe: fuer Im- müsste mit * statt + beginnen und stellt exp(i*phi) dar, mit dem "Inneren" als phi.
also müsste mit:
exp(i*phi)=cos(phi)+i*sin(phi)
die Potenz (z^w) in der Zahlenpaarschreibweise heißen: (|B|*cos(phi) ; |B|*sin(phi)) ?

So verstehe ich es?
Ich ziehe mir die komplexen Zahlen seit 2 Tagen rein, also bitte um Verständnis.

Bitte dich um Korrektur meiner obigen Ausführungen und wie anfangs gebeten evtl. einen Link zum lernen.
Meine Dankbarkeit wir dir sicher sein.

11.01.2016, 13:21

Steffen Bühler

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Die üblichere Berechnung des Winkels läuft über den Tangens, daher bin ich auf den Cosinus nicht eingegangen. Da Du bei letzterem, wie Du ja auch schreibst, aber ebenfalls eine Fallunterscheidung machen musst, könnte man entweder auf die atan2-Funktion ausweichen, oder einfach arg(z) für den Winkel der komplexen Zahl z schreiben, je nachdem, was Du vorhast.

Mit den von Dir genannten Korrekturen stimmt dann alles.

Was den Link betrifft, bist Du bestimmt schon auf unseren Workshop gestoßen. Anderes kann ich Dir nicht bieten.

Viele Grüße
Steffen

11.01.2016, 13:39

hybernate5

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Natürlich war ich längst im Workshop, aber dort wird mein Problem z.Z. nicht behandelt.

Ich hab auch intensiv im Internet gesucht, aber fand nichts zum Kompex hoch Komplex.

Gut, das wars also, was mir noch in den k-Zahlen_Grundlagen fehlte.

Bin froh, dass Du mir so flott auf die Sprünge geholfen hast.
Danke Dir für Deine Geduld und Viele Grüße

hybernate5

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