Differenzierbarkeit

10.01.2016, 23:01

octavia

Differenzierbarkeit

Meine Frage:
Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R , \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \to \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(1+2xsin(\frac{1}{x})) \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \neq 0, \end{eqnarray*}$
0, falls x = 0
differenzierbar ist mit f'(0) > 0. Zeigen Sie weiter, dass [epsilon = e] (-e,e) für jedes e > 0 ein Intervall enthält, auf welchem f streng monoton fällt.

Meine Ideen:
Also zuerst hätte ich eine Frage: stimmt diese Rechnung: $\begin{eqnarray*} 2x\sin(\frac{1}{x}) = \sin(2) \end{eqnarray*}$
Wenn ja dann kann ich vermutlich noch etwas weiter rechnen als bisher. Ohne diese Überlegung habe ich zunächst mit Hilfe von Ketten- und Produktregel die erste Ableitung für die o.a. Funktion berechnet, vorher habe ich noch die Klammer ausmultipliziert. So kam ich auf f'(x)= $\begin{eqnarray*} 1-2\cos (\frac{1}{x}) + 4x\sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ . Diese ist für x=0 nicht definiert. Weiter kam ich bisher nicht und für den zweiten Teil der Aufgabe fiel mir bisher leider auch nicht so viel ein..

10.01.2016, 23:11

octavia

Auf diesen Beitrag antworten »

Also falls meine frage stimmt, dass $\begin{eqnarray*} 2x\sin(\frac{1}{x}) = \sin(2) \end{eqnarray*}$ . Dann komme ich auf die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 + 2\cos(2x) \end{eqnarray*}$ . Hier ist f'(0) = 3 also wäre der erste Teil der Aufgabe soweit fertig. Bräuchte nur noch den Hinweis dass meine Bedingung stimmt.

10.01.2016, 23:13

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von octavia
Also zuerst hätte ich eine Frage: stimmt diese Rechnung: $\begin{eqnarray*} 2x\sin(\frac{1}{x}) = \sin(2) \end{eqnarray*}$

Nein. Es gibt nicht eine einzige Regel, die diesen Schluß zuließe.

Und was die Ableitung bei 0 angeht: Was spricht dagegen, das einmal direkt mit dem Differenzenquotienten zu machen?

10.01.2016, 23:25

octavia

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey danke für die schnelle Antwort. Schade dann wäre alles so viel einfacher gewesen Hammer

Da ich im Differenzenquotienten durch x teile ist dieser doch nicht für x=0 definiert oder?

11.01.2016, 00:03

octavia

Auf diesen Beitrag antworten »

So ich habe jetzt nochmal versucht die Ableitung zu berechnen, ohne im Voraus irgendeine Klammer auszumultiplizieren. Dabei kam ich auf:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x(1+2x\sin(\frac{1}{x})) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x\sin(\frac{1}{x}) + 4x^{2} \sin^{2}(\frac{1}{x}) - 2\cos(\frac{1}{x}) - 4x\cos(\frac{1}{x})\sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$
Wenn ich aber zuerst die Klammer auflöse, bekomme ich ein anderes Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x + 2x^{2}\sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 + 4x\sin(\frac{1}{x}) - 2\cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

Ist das durch irgendeine Umformung das Gleiche oder habe ich etwas falsch gemacht?

11.01.2016, 08:17

octavia

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin mir mittlerweile sicher, dass die erste Ableitung so aussieht:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1 + 4x\sin(\frac{1}{x}) - 2\cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

Leider komme ich damit trotzdem nicht weiter. Da ich f'(0) nicht einfach so berechnen kann wegen der Brüche, habe ich probiert wie es aussieht wenn ich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{-} } \end{eqnarray*}$ berechne. Dabei ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+} } f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{-} } f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ . Falls ich nichts falsch gemacht habe, soweit so gut.

Hätte denn vielleicht jemand noch eine Idee für den zweiten Teil der Aufgabe, also dass $\begin{eqnarray*} (-\epsilon,\epsilon) \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein Intervall enthält, auf welchem f streng monoton fällt. Ich glaube mit Hilfe des ersten Teils der Aufgabe habe ich schon gezeigt, dass dies an der Stelle 0 der Fall ist.

Ich habe als Information über streng monoton fallende Funktion noch:
f(x) > f(x') für alle $\begin{eqnarray*} x, x' \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit x < x'
Kam damit aber bisher leider auch nicht wirklich weiter..

11.01.2016, 11:30

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von octavia
Also ich bin mir mittlerweile sicher, dass die erste Ableitung so aussieht:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1 + 4x\sin(\frac{1}{x}) - 2\cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

Das ist richtig für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von octavia
Dabei ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+} } f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{-} } f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ .

Zum einen sind diese Grenzwerte falsch. Zum anderen ist auch deine Annahme, man könnte f'(0) als Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ schreiben ebenfalls unbegründet, und im vorliegenden Fall sogar falsch.

Nein, für $\begin{align*} f'(0) \end{align*}$ benutze schlicht die Definition über den Differenzenquotient, d.h.

$\begin{align*} f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h\to 0} \left(1+2h\sin\left(\frac{1}{h}\right)\right) = ? \end{align*}$ ,

wobei du für letztere Berechnung noch nutzen kannst, dass die Sinuswerte beschränkt sind auf [-1,1].

12.01.2016, 22:01

octavia

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank das hat geholfen!

Neue Frage »

Antworten »

Differenzierbarkeit

Verwandte Themen