Vollständige Kurvendiskussion - Aufgabe

11.01.2016, 16:10

DerApfel

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Vollständige Kurvendiskussion - Aufgabe

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=\frac{x^{3}}{3x^{2}-12x+12} = \frac{x^{3}}{3(x-2)^{2}}<br /> \end{eqnarray*}$

1. Definitionsmenge:

$\begin{eqnarray*} D=R\diagdown(2) \end{eqnarray*}$

2. Nullstellen

$\begin{eqnarray*} x_{1}=0 \to N(0|0) \end{eqnarray*}$

3. Ableitungen

$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x)= \frac{(3x^{2}-12x+12)*3x^{2}-x^{3}*(6x-12)}{9(x-2)^{4}} = \frac{3*(x^{4}-8x^{3}+12x^{2})}{9*(x-2)^{4}} = \frac{x^{2}*(x-6)}{3*(x-2)^{3}}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> f''(x)=\frac{3*(x-2)^{3}*(3x^{2}-12x)-(x^{3}-6x^{2})*9(x-2)^{2}}{9*(x-2)^{9}} = \frac{(x-2)*(3x^{2}-12x)-3*(x^{3}-6x^{2})}{3*(x-2)^{7}} = \frac{8x}{(x-2)^{7}}<br /> \end{eqnarray*}$

4. Monotonie und Extremstellen

$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x)=0 \to x_{1,2}=0 x_{3}=6<br /> \end{eqnarray*}$

Vorzeichentabelle mit 0, 2 und 6:
|+|+|-|+ $\begin{eqnarray*} \to G_{f} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton steigend für $\begin{eqnarray*} x \in ]-\infty;2[ ;x \in [6;\infty[ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G_{f} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton fallend für $\begin{eqnarray*} x \in ]2;6] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} TP(6|4.5) \end{eqnarray*}$

5. Grenzwerte und Asymptoten

waagerechte Asymptote bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ (Polstelle)

Nur wie rechne ich hier die schräge Asymptote durch Polynomdivison aus?

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 2^{+}}\frac{x^{3}}{3(x-2)^{2}} \to \infty<br /> \lim_{x \to 2^{-}}\frac{x^{3}}{3(x-2)^{2}} \to \infty<br /> \lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}}{3(x-2)^{2}} \to \infty<br /> \lim_{x \to -\infty}\frac{x^{3}}{3(x-2)^{2}} \to -\infty<br /> \end{eqnarray*}$

6. Krümmung und Wendepunkte

$\begin{eqnarray*} <br /> f''=0 \to x_{1}=0<br /> \end{eqnarray*}$

Vorzeichentabelle mit 0 und 2:
|-|-|+

$\begin{eqnarray*} G_{f} \end{eqnarray*}$ ist rechtsgekrümmt für $\begin{eqnarray*} x \in ]-\infty;2[ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G_{f} \end{eqnarray*}$ ist linksgekrümmt für $\begin{eqnarray*} x \in ]2;\infty[ \end{eqnarray*}$

Keine Wendepunkte

Meine Frage ist, passt das so (?) und wie bestimme ich die schiefe Asymptote?

11.01.2016, 16:31

HAL 9000

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Zum Nenner deiner zweiten Ableitung: Es ist

$\begin{align*} \left((x-2)^3\right)^2 = (x-2)^{3\cdot 2} = (x-2)^6 \end{align*}$ ,

Potenzgesetze lassen grüßen.

11.01.2016, 16:35

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} D=R\diagdown(2) \end{eqnarray*}$

Da gehört natürlich eine Mengenklammer hin.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> f''(x)=\frac{3*(x-2)^{3}*(3x^{2}-12x)-(x^{3}-6x^{2})*9(x-2)^{2}}{9*(x-2)^{9}} = \frac{(x-2)*(3x^{2}-12x)-3*(x^{3}-6x^{2})}{3*(x-2)^{7}} = \frac{8x}{(x-2)^{7}}<br /><br /> \end{eqnarray*}$

Da passt der Nenner nicht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} TP(6|4.5) \end{eqnarray*}$

Was ist denn nun mit deiner doppelten Extremstelle 0 eigentlich?

edit: Bin weg... Wink

Wink

11.01.2016, 16:36

HAL 9000

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Nein, bleib da - ich bin weg.

11.01.2016, 16:38

DerApfel

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Zitat:

Da gehört natürlich eine Mengenklammer hin.

Danke, ich wusste nur nicht, wie man das mit der Menge in Latex macht.

Zitat:

Was ist denn nun mit deiner doppelten Extremstelle 0 eigentlich?

Was genau meinst du?

Zitat:

Zum Nenner deiner zweiten Ableitung: Es ist

Stimmt.

Zitat:

Bin weg

Zitat:

ich bin weg.

unglücklich

11.01.2016, 16:43

Mathema

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Zitat:

Danke, ich wusste nur nicht, wie man das mit der Menge in Latex macht.

code:
1:	\{ \}

So. Hilfe für Latex findest du auch hier.

Eine Definitionslücke? Wie kommst du darauf? Bei 2 ist $\begin{eqnarray*} (0|0) \end{eqnarray*}$ noch dein Schnittpunkt mit der x-Achse.

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11.01.2016, 16:45

DerApfel

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Zitat:

Eine Definitionslücke? Wie kommst du darauf? Bei 2 ist $\begin{eqnarray*} (0|0) \end{eqnarray*}$ noch dein Schnittpunkt mit der x-Achse.

Sorry, hatte das mit $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ verwechselt.

Nachdem ich die Ableitung richtig stellen werde, findet dort wahrscheinlich ein VZW statt, also möglicherweise auch eine Extremstelle.

11.01.2016, 16:49

Mathema

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Du hast doch die Extremstelle bestimmt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> f'(x)=0 \to x_{1,2}=0 x_{3}=6<br /><br /> \end{eqnarray*}$

Es gilt also noch die hinreichende Bedingung zu überprüfen.

11.01.2016, 16:54

DerApfel

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$\begin{eqnarray*} f''(0)=0 \end{eqnarray*}$ daher keine Extremstelle?

11.01.2016, 16:57

Mathema

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Zumindest ist der Punkt $\begin{eqnarray*} (0|0) \end{eqnarray*}$ also schon mal kein Hoch- oder Tiefpunkt. Was für besondere Punkte kennst du denn noch?

11.01.2016, 17:02

DerApfel

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Achso,

$\begin{eqnarray*} f'''(0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ also ein Terrassenpunkt?

11.01.2016, 17:09

Mathema

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Richtig.

Auch noch zu 4:

Wieso ist dein Intervall bei 6 geschlossen?

11.01.2016, 17:14

DerApfel

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Angeblich sollen die Grenzen mit eingeschlossen werden...

11.01.2016, 17:27

Mathema

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Ok. Dann zu 5:

Zitat:

waagerechte Asymptote bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ (Polstelle)

Hast du dich hier verschrieben?

edit: Ich würde das Wort "streng" wegnehmen bei deinen Intervallen. Strenge Monotonie ist definiert, als:

$\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f'(x)<0 \end{eqnarray*}$

Hast du die 6 mit im Intervall, gilt das nicht. In deinem ersten Intervall hast du zudem die Null dabei.

11.01.2016, 18:00

DerApfel

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Ja, ich meinte natürlich senkrechte Asymptote. Die Frage ist, wie bekomme ich die Funktion der schrägen Asymptote durch Polynomdivision?

11.01.2016, 18:04

Mathema

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Zitat:

Ja, ich meinte natürlich senkrechte Asymptote.

Das hört sich besser an.

Zitat:

wie bekomme ich die Funktion der schrägen Asymptote durch Polynomdivision?

$\begin{eqnarray*} x^3 : (3x^2-12x+12)=... \end{eqnarray*}$

11.01.2016, 18:12

DerApfel

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Ich verstehe nicht, wie Polynomdivisionen funktionieren, bei denen durch mehr als 2 Glieder geteilt wird traurig

traurig

11.01.2016, 18:16

Mathema

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Ich habe keine Ahnung wie ich das in Latex schreibe. Ich versuche mal:

$\begin{eqnarray*} x^3 : (3x^2-12x+12)=\tfrac{1}{3}x+... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(x^3-4x^2+4x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x^2-4x \end{eqnarray*}$

Sieht nun nicht so schön aus. Prinzip klar? Dann rechne mal weiter.

11.01.2016, 18:22

DerApfel

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Ah..

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x+\frac{4}{3}+\frac{20x-16}{3x^{2}-12x+12} \end{eqnarray*}$ ?

11.01.2016, 18:24

Mathema

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Die 20 stimmt nicht, was aber für deine schiefe Asymptote natürlich nicht so wichtig ist. Trotzdem solltest du es natürlich noch mal verbessern.

11.01.2016, 18:26

DerApfel

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Es sind $\begin{eqnarray*} 12x-16 \end{eqnarray*}$ ...

11.01.2016, 18:28

Mathema

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Freude

11.01.2016, 18:33

DerApfel

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Okay,

bei der Funktion:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=\frac{\frac{1}{3}x^{3}+kx^{2}}{(x+1)^{2}}<br /> \end{eqnarray*}$

soll $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ so bestimmt werden, dass die Asymptote den Achsenabschnitt $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ besitzt.

Also wieder Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} <br /> (\frac{1}{3}x^{3}+kx^{2})/(x^{2}+2x+1) = \frac{1}{3}x-\frac{2}{3}+k<br /> \end{eqnarray*}$

weiter brauche ich es ja nicht.

Also muss $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ sein?

11.01.2016, 18:35

Mathema

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Deinen Text kann ich nicht lesen. Bitte nutze die Vorschau-Funktion. Wieso kommst du nun überhaupt schon mit einer neuen Aufgabe? Willst du die alte nicht erstmal beenden?

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