Rationale Funktion, Partialbruchzerlegung

11.01.2016, 16:43

johnny94

Rationale Funktion, Partialbruchzerlegung

Meine Frage:
Ich wäre dankbar wenn mir kurz jemand bei dieser rationalen Funktion helfen könnte.

$\begin{eqnarray*} R\left(x\right)=\frac{x^{3}-4x^{2}-11x+30 }{x^{3}-2x^{2}-5x+6 } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe die Funktion in Linearfaktoren zerlegt.

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(x-2\right) \left(x-5\right) \left(x+3\right) }{\left(x-1\right) \left(x-3\right) \left(x+2\right) } \end{eqnarray*}$

Als Ansatz habe ich das gewählt.

$\begin{eqnarray*} R\left(x\right)=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{3}-4x^{2}-11x+30 = A\left(x-3\right)\left(x+2\right) + B\left(x-1\right) \left(x+2\right) +C\left(x-1\right) \left(x-3\right) \end{eqnarray*}$

Irgendetwas scheint aber nicht zu stimmen habe schon einige male probiert, bekomme aber bei der Probe immer wieder die selbe falsche Lösung heraus.
Muss ich davor noch was machen. Bringt mir hier eine Polynomdivision am Anfang was? Dann hätte ich ja R(x)=1+Rest stehen.

11.01.2016, 16:47

HAL 9000

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Partialbruchzerlegung funktioniert nur, wenn der Zählergrad echt kleiner als der Nennergrad ist.

Ist er hinhgegen größer oder gleich, so ist vorab eine Polynomdivision mit Rest fällig. Im vorliegenden Fall beschränkt sich das aber auf das "Herausziehen" einer 1 (d.h. deine Vermutung stimmt):

$\begin{align*} R(x) = 1 + \frac{x^3-4x^2-11x+30-(x^3-2x^2-5x+6)}{(x-1)(x-3)(x+2)} \end{align*}$

Auf den Bruchterm rechts (nach Vereinfachung im Zähler) kannst du dann die PBZ loslassen.

11.01.2016, 16:48

johnny94

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Vielen Dank.

11.01.2016, 20:25

johnny94

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Kann ich hier gleich noch eine Frage zum Thema stellen, oder hätte ich einen neuen Thread aufmachen sollen?

$\begin{eqnarray*} R\left(x\right)=\frac{3x^{2}-2x+1 }{x^{3}-3x^{2}+3x-2 } \end{eqnarray*}$

Nach der Partialbruchzerlegung

$\begin{eqnarray*} R\left(x\right)= \frac{3}{x-2}+\frac{1}{x^{2}-x+1 } \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht ganz warum diese Funktion nur eine senkrechte Asymptote hat, sie hat doch 3 Nullstellen im Nenner. Es wird daran liegen dass es eine komplexe Nullstelle ist und die dazu konjugiert komplexe, aber ich kann es mir irgendwie trotzdem nicht vorstellen.

11.01.2016, 20:45

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Genau daran liegt es aber.

11.01.2016, 21:16

johnny94

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Ok, dann nehme ich das so an. smile

Eine blöde Frage noch bzgl. Monotonie. Ich habe die erste Ableitung dieser Funktion berechnet und soll die Monotonie der Funktion untersuchen.

Ich weiß, dass die Funktion im Intervall (2,unendlich) Monoton fallend ist.

Es muss ja gelten f'(x) > 0 , für alle x im Intervall (2,unendlich).

Wie beweist man dass es für alle x gilt. Es wird ja nicht reichen wenn ich es nur für ein x mache oder?

11.01.2016, 22:43

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Nein, für ein x reicht nicht. Da bleibt wohl nichts anderes, als die Ableitung zu berechnen und dann den Zähler abzuschätzen.
Edit: Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kann man den Zähler schreiben als
$\begin{eqnarray*} -2x(x-1)^2(x+2)-2(3x-1)-(x-1)^4 \end{eqnarray*}$

12.01.2016, 08:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von johnny94
$\begin{eqnarray*} R\left(x\right)= \frac{3}{x-2}+\frac{1}{x^{2}-x+1 } \end{eqnarray*}$

Darauf basierend ist

$\begin{align*} R'(x) = -\frac{3}{(x-2)^2} - \frac{2x-1}{(x^2-x+1)^2} \end{align*}$

Der erste Summand ist negativ für alle $\begin{align*} x\neq 2 \end{align*}$ , der zweite für alle $\begin{align*} x>\frac{1}{2} \end{align*}$ . Die Polstelle bei 2 berücksichtigend ist die Funktion also für $\begin{align*} x>2 \end{align*}$ streng monoton fallend.

12.01.2016, 08:14

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Oh mann

12.01.2016, 16:44

johnny94

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Und wenn ich diese Funktion vollständig auf Maxima und Minima und Monotonie untersuchen will, gehe ich dann so vor.

Zählergrad = Nennergrad, darum x-Achse waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote bei x = 2

Erster Summand abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} F'\left(x\right) = - \frac{3}{\left(x-2\right)^{2} } \end{eqnarray*}$

Definitionslücke bei x = 2
keine Nullstellein R, daher notwendige Bedingung für ein Extremum nicht erfüllt.

zweiter Summand abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} G'\left(x\right) = - \frac{2x-1}{\left(x^{2} -x+1\right)^{2} } \end{eqnarray*}$

Nullstelle bei x = 1/2

Extrema berechnen:

$\begin{eqnarray*} G''\left(x\right) = \frac{6x\cdot \left(x-1\right) }{\left(x^{2}-x+1 \right)^{3} } \end{eqnarray*}$

Und hier die Nullstelle von der ersten Ableitung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} G''\left(\frac{1}{2} \right) = -3,556 <0 \end{eqnarray*}$

daher ist an der Nullstelle x = 1/2 ein Maximum.

Aber das ist ja dann nur von dem einen Summanden, das Maximum der Gesamtfunktion müsste dann ja mehr in der Nähe der y-Achse sein. Wie kann ich diese zwei Summanden verknüpfen, geht das überhaupt?

Als Hinweis steht ich darf die Nullstellen und Vorzeichen der auftretenden Polynome mit einer mathematischen Software bestimmen.

Habe jetzt mein lokales Maximum bei x=0,17 bestimmt, aber wie komme ich auf das lokale Minimum bei x = -1?

12.01.2016, 18:03

HAL 9000

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Du kannst nicht die Summanden getrennt Null setzen, das macht keinen Sinn hinsichtlich der Extremwerte der Gesamtfunktion - die Gesamtableitung muss Null sein! Zur Bestimmmung dieser Gesamtableitung hatte URL ja schon angesetzt, am besten macht er da weiter. Augenzwinkern

12.01.2016, 18:33

johnny94

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Danke, jetzt passen die Extremwerte zusammen und die Sache ist für mich ein wenig klarer geworden.

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