Wie groß muss das Intervall gewählt werden für eine bestimmte Wahrscheinlichkeit

11.01.2016, 22:15

Glöckchen

Wie groß muss das Intervall gewählt werden für eine bestimmte Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Die Länge von Weihnachtsbäumen beträgt im Mittel 1,8 m. Sie sei normalverteil und
habe eine Standardabweichung von 30 cm.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig herausgegriffener
Weihnachtsbaum der Länge
a) genau 2 Meter,
b) 1,70 m bis 1,90 m,
c) 0,9 m bis 1,50 m aufweist.
d) Für ein Krankenhaus wurden 9 zufällig ausgewählte Bäume gekauft. Wie groß
muss das Längenintervall um 1,80 m gewählt werden, damit mit 80 % Wahr-
scheinlichkeit alle 9 Weihnachtsbäume innerhalb dieses Intervalls liegen?

Ich komme einfach bei d) nicht mehr weiter, wäre für Ansätze dankbar!

Meine Ideen:
a) P=0 -> Nicht möglich einen genauen Wert zu bekommen
b)
$\begin{eqnarray*} P\left(1,7 \leq x \leq 1,9\right) \end{eqnarray*}$ -> Gesucht

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} P(x\leq 1,9) = ?\left\{\frac{1,9-1,8}{0,3}\right\} \end{eqnarray*}$ = 0,6293
$\begin{eqnarray*} <br /> P(x\leq 1,7) = 1-?\left\{\frac{1,7-1,8}{0,3}\right\} \end{eqnarray*}$ = 0,3707

$\begin{eqnarray*} P\left(1,7 \leq x \leq 1,9\right) \end{eqnarray*}$ = 0,6293 - 0,3707 = 0,2586

c)
$\begin{eqnarray*} P\left(0,9 \leq x \leq 1,5\right) \end{eqnarray*}$ -> Gesucht

$\begin{eqnarray*} P(x\leq 1,5) = 1-?\left\{\frac{1,5-1,8}{0,3}\right\} \end{eqnarray*}$ = 0,1587

$\begin{eqnarray*} P(x\leq 0,9) = 1-?\left\{\frac{0,9-1,8}{0,3}\right\} \end{eqnarray*}$ = 0,0013

$\begin{eqnarray*} P\left(0,9 \leq x \leq 1,5\right) \end{eqnarray*}$ = 0,1587 - 0,0013 = 0,1574

d)
So nun zu meiner Problemstelle!

Das was ich suche ist ja die Länge, also was um 1,80 +- liegen muss damit man mit 80% Wahrscheinlichkeit halt in diesem Intervall liegt(Ich weiß, sehr schlau :thumb smile

.

Ansatz:
n = 9 p=0,8
µ = n*p = 7,2
? = (n*p*(1-p))^1/2 = 1,2 -> Nicht über 3, also Binominalverteilung?

Ehrlich gesagt, hier endet es dann so ziemlich.
Ich weiß das ich ? suche, für eine 80% Wahrscheinlichkeit.
Es gibt die Sigma Regeln, 1-, 2-, 3-? usw. aber ich glaube nicht das die Länge mit 1,26*? um das Intervall liegt.

Ich hoffe ich konnte mein Problem rüber bringen.

Liebe Grüße,

Yvonne

12.01.2016, 14:16

Huggy

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RE: Wie groß muss das Intervall gewählt werden für eine bestimmte Wahrscheinlichkeit
Deine Ergebnisse zu a), b) und c) sind richtig. b) ist allerdings numerisch ein wenig ungenau ausgefallen. Die Formeln für $\begin{eqnarray*} P(X \leq 1.7) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(X \leq 1.5) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X \leq 0.9) \end{eqnarray*}$ hast du aber nicht korrekt hingeschrieben. Korrekt wäre z. B.

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 0.9)=\mathcal N \left ( \frac {0.9-1.8}{0.3} \right )=1-\mathcal N \left ( -\frac {0.9-1.8}{0.3} \right )=1-\mathcal N \left ( \frac {1.8-0.9}{0.3} \right ) \end{eqnarray*}$

Dabei steht $\begin{eqnarray*} \mathcal N \end{eqnarray*}$ für die Standardnormalverteilung.

d) Betrachte das Intervall $\begin{eqnarray*} [1.8-c,1.8+c] \end{eqnarray*}$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Weihnachtsbaum in diesem Intervall liegt sei $\begin{eqnarray*} p = p_1 \end{eqnarray*}$ . Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_9 \end{eqnarray*}$ , dass alle 9 Weihnachtsbäume in diesem Intervall liegen?

$\begin{eqnarray*} p_9= f(p_1) = ... \end{eqnarray*}$

Mit der richtigen Formel an dieser Stelle kannst du aus $\begin{eqnarray*} p_9=0.8 \end{eqnarray*}$ zunächst $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann die Gleichung

$\begin{eqnarray*} p_1=\mathcal N \left ( \frac {c}{0.3} \right )-\mathcal N \left ( \frac {-c}{0.3} \right )=2\mathcal N \left ( \frac {c}{0.3} \right )-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1+p_1}{2}=\mathcal N \left ( \frac {c}{0.3} \right ) \end{eqnarray*}$

Mit der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \mathcal N^{-1} \end{eqnarray*}$ der Standardnormalverteilung ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac {c}{0.3} =\mathcal N^{-1} \left (\frac {1+p_1}{2} \right ) \end{eqnarray*}$

Wenn dir nur eine Tabelle der Standardnormalverteilung zur Verfügung steht, gehst du halt von der Ergebnisseite aus in die Tabelle, d. h. du suchst dir die Stelle, an der die Standardnormalverteilung den Wert $\begin{eqnarray*} (1+p_1)/2 \end{eqnarray*}$ ergibt.

12.01.2016, 14:39

Glöckchen

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RE: Wie groß muss das Intervall gewählt werden für eine bestimmte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von Huggy

Mit der richtigen Formel an dieser Stelle kannst du aus $\begin{eqnarray*} p_9=0.8 \end{eqnarray*}$ zunächst $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann die Gleichung

$\begin{eqnarray*} p_1=\mathcal N \left ( \frac {c}{0.3} \right )-\mathcal N \left ( \frac {-c}{0.3} \right )=2\mathcal N \left ( \frac {c}{0.3} \right )-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1+p_1}{2}=\mathcal N \left ( \frac {c}{0.3} \right ) \end{eqnarray*}$

Mit der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \mathcal N^{-1} \end{eqnarray*}$ der Standardnormalverteilung ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac {c}{0.3} =\mathcal N^{-1} \left (\frac {1+p_1}{2} \right ) \end{eqnarray*}$

Hi Huggy,

danke für deine Hilfe smile

.

Bei der Gleichung oben, wie kommst du auf die -1? Ich sehe ja das dass Minus dafür sorgt das es zu $\begin{eqnarray*} 2\mathcal N \end{eqnarray*}$ wird, aber wo kommt aufeinmal die -1 her? geschockt

12.01.2016, 17:15

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \mathcal N(x) \end{eqnarray*}$ ist symmetrisch zu x= 0

$\begin{eqnarray*} \mathcal N(x) \end{eqnarray*}$ ist deshalb nur für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ tabelliert.

für ein positives x ist deshalb $\begin{eqnarray*} \mathcal N(-x) = 1-\mathcal N(x) \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} \mathcal N(x) -\mathcal N(-x) = \mathcal N(x)-[1-\mathcal N(x)]= 2\mathcal N(x)-1 \end{eqnarray*}$

12.01.2016, 17:17

Huggy

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RE: Wie groß muss das Intervall gewählt werden für eine bestimmte Wahrscheinlichkeit
Es ist

$\begin{eqnarray*} \mathcal N(a)=1-\mathcal N(-a) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \mathcal N(-a)=1-\mathcal N(a) \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \mathcal N(a)-\mathcal N(-a)=\mathcal N(a)-(1-\mathcal N(a))=2\mathcal N(a)-1<br /> \end{eqnarray*}$

Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal N \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion sein soll und nicht die Dichtefunktion.

12.01.2016, 22:11

Glöckchen

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Danke für die Antworten.

Also ist die Umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} 1-\mathcal N(\frac{1.8}{2} ) \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Konnte dazu nichts im Netz finden, irgendwie stehe ich damit auf dem Schlauch.

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{0.3} = 1-\mathcal N(\frac{1.8}{2} )<br /> \end{eqnarray*}$
Was schließlich

c = 0.27 ergibt.

Das geteilt durch 2 ist dann 0.135

Also 1.80 +- 0.135

13.01.2016, 08:58

Huggy

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Zitat:

Original von Glöckchen
Danke für die Antworten.

Also ist die Umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} 1-\mathcal N(\frac{1.8}{2} ) \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Konnte dazu nichts im Netz finden, irgendwie stehe ich damit auf dem Schlauch.

Nein! Die richtige Formel hatt ich dir schon genannt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac {c}{0.3} =\mathcal N^{-1} \left (\frac {1+p_1}{2} \right ) \end{eqnarray*}$

Was hast du für $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ heraus?

Hier ein Beispiel, wie man die Umkehrfunktion aus einer Tabelle bestiimmt. Gesucht sei $\begin{eqnarray*} \mathcal N^{-1}(0.9) \end{eqnarray*}$ . Betrachte die Tabelle aus:

https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_St...ormalverteilung

Im grauen Bereich findet man die Einträge 0,89973 und 0,90147. Also liegt $\begin{eqnarray*} \mathcal N^{-1}(0.9) \end{eqnarray*}$ zwischen 1,28 und 1,29. Dazwischen kann man noch interpolieren.

14.01.2016, 01:27

Glöckchen

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Huggy,

ich weiß das war eine schwierige Geburt. Danke! Jetzt habe ich es raus.

(Verzeiht mir, kriege mit dem Formel-Editor nicht ganz so hin)
Anzahl n = 9
Erwartungswert = 1,8*9 = 7,2
Standardabweichung = 0,3

Neue Standardabweichung = ((0,3)²*9)^1/2 = 0,9

$\begin{eqnarray*} 0.8 = 2\mathcal N \left(\frac{c}{0.9} \right) - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{0.9} = \mathcal N^{-1} \left(\frac{1+0.8}{2} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{0.9} = 1.28 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 1.152 \end{eqnarray*}$

Dann hier durch n teilen. Ist bestimmt mathematisch nicht richtig geschrieben, aber ich bin froh das dass richtige Ergebnis da ist.

$\begin{eqnarray*} c = 0.128 \end{eqnarray*}$

14.01.2016, 09:12

Huggy

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Schon der gesunde Menschenverstand hätte dir sagen können, dass dein Ergebnis nicht stimmen kann. Die gegebene Standardabweichung war 0,3 m. Das bedeutet, ein einzelner Weihnachtsbaum liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68 % im Intervall $\begin{eqnarray*} [1.8-0.3, 1.80+0.3] \end{eqnarray*}$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 9 Bäume in diesem Intervall liegen, ist also viel kleiner als 68 %. Wie können also alle 9 Weihnachtsbäume in deinem viel kleineren Intervall mit der höheren von Wahrscheinlichkeit von 80 % liegen???

Anscheinend hast du, von dem was ich dir schrieb, nichts verstanden. Der erste Punkt war die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ . Ich weiß nicht, was du da treibst. Es ist jedenfalls Unfug. Dabei ist die Sache doch ganz einfach. Nach dem Multiplikationssatz für unabhängige Zufallsgrößen gilt:

$\begin{eqnarray*} p_9=p_1^9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_1=\sqrt [9] {p_9}=\sqrt [9] {0.8} \end{eqnarray*}$

Das so berechnete $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ ist in die Formel einzusetzen. Es gibt keinen Grund, an der Division von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ in meiner letzten Formel durch die gegebene Standardabweichung 0,3 etwas zu ändern.

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