Transformation von Zufallsvariablen

11.01.2016, 22:43

Sarmat

Transformation von Zufallsvariablen

Hallo,

ich komme nicht weiter bei dieser Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} X \sim U[0,2] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y=min(X,1) \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .

Ich habe bis jetzt nur das:
$\begin{eqnarray*} F_{Y}(y)=P(min(X,1) \le y) \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht wie ich weiter $\begin{eqnarray*} min(X,1) \end{eqnarray*}$ umformen könnte, damit ich auf die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ komme. Hammer

12.01.2016, 08:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sarmat
Ich weiß nicht wie ich weiter $\begin{eqnarray*} min(X,1) \end{eqnarray*}$ umformen könnte, damit ich auf die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ komme. Hammer

Du meinst sicher die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , denn die von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sollte ja klar sein. Augenzwinkern

Unterscheide die beiden Fälle $\begin{align*} y<1 \end{align*}$ und $\begin{align*} y\geq 1 \end{align*}$ .

12.01.2016, 17:26

Sarmat

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Danke für den Tipp, aber ich habe trotzdem ein Problem

für den Fall $\begin{eqnarray*} y<1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} P(X\leq y)=F_{X}(y) \end{eqnarray*}$
Das ist klar und verständlich

aber für den Fall $\begin{eqnarray*} y \geq 1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} P(1 \leq y)=?? \end{eqnarray*}$

12.01.2016, 17:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sarmat
$\begin{eqnarray*} P(1 \leq y)=?? \end{eqnarray*}$

Im Fall $\begin{align*} y\geq 1 \end{align*}$ gilt natürlich $\begin{align*} P(1 \leq y)=1 \end{align*}$ . Augenzwinkern

Aber vielleicht ist es so eher verständlich: $\begin{align*} Y=\min(X,1) \end{align*}$ ist schon per dieser Festlegung immer ein Wert $\begin{align*} \leq 1 \end{align*}$ . Und damit ist natürlich $\begin{align*} F_Y(1) = P(\min(X,1)\leq 1) = 1 \end{align*}$ , was natürlich $\begin{align*} F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1 \end{align*}$ für noch größere $\begin{align*} y>1 \end{align*}$ nach sich zieht.

12.01.2016, 17:45

Sarmat

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Sarmat
$\begin{eqnarray*} P(1 \leq y)=?? \end{eqnarray*}$

Im Fall $\begin{align*} y\geq 1 \end{align*}$ gilt natürlich $\begin{align*} P(1 \leq y)=1 \end{align*}$ . Augenzwinkern

was mich noch ein bisschen verwirrt ist die Normierung der Dichte der Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ :
auf $\begin{eqnarray*} 0 \leq y \leq 1 \end{eqnarray*}$ : 0,5
sonst 0

Bei der Normierung kommt 0,5 statt 1 raus.

12.01.2016, 17:55

HAL 9000

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Welche Dichte? $\begin{align*} Y \end{align*}$ ist keine stetige Zufallsgröße, besitzt also auch keine Dichte. unglücklich

EDIT: Schweigen im Walde?

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