Transformationsmatrizen berechnen

11.01.2016, 21:46	Trafo	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrizen berechnen Hallo zusammen, ich habe die Basen $\begin{eqnarray} P=\{p_1(x)=1,~p_2(x)=x,~p_3(x)=x^2\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Q=\{q_1(x)=x^2+x+1,~q_2(x)=x^2+x,~q_3(x)=x^2+1\} \end{eqnarray}$ Ich habe die Basen erstmal in eine Matrix geschrieben und erhalte da: $\begin{eqnarray} P=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Q=\begin{pmatrix} 1 & 1& 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun dachte ich daran die Transformationsmatrizen auszurechnen mit $\begin{eqnarray} S_{QP}=P^{-1}Q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S_{PQ}=Q^{-1}P \end{eqnarray}$ Allerdings erhalte ich für die Matrix Q eine singuläre Matrix so dass ich nicht invertieren kann. Die Matrix $\begin{eqnarray} S_{QP} \end{eqnarray}$ stimmt auch nicht. Ich weiß nicht was ich falsch mache. Kann mir jemand helfen?
12.01.2016, 06:23	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrizen berechnen Hey, wenn du die Transformationsmatrix von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ aufstellen willst, stellst du die Elemente von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ als Linearkombination der Elemente von $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ dar. Die Vorfaktoren zu jedem Element aus $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ sind die Spalteneinträge der Transformationsmatrix $\begin{eqnarray} [T]^P_Q \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} p_1(x) \end{eqnarray}$ müsstest du also $\begin{eqnarray} p_1(x) = \lambda_1\cdot q_1(x)+\lambda_2\cdot q_2(x)+\lambda_3\cdot q_3(x) \end{eqnarray}$ lösen. Die $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 's sind dann die Koeffizienten der ersten Spalte der Transformationsmatrix. Analog verfährst du mit den anderen zwei Elementen aus $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ . PS: Matrix $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ ist nicht singulär, sondern $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ Wahrscheinlich meinst du auch $\begin{eqnarray} P = \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right) \end{eqnarray}$ , oder?

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