Stetigkeit einer Funktion und Unstetigkeitsstellen

12.01.2016, 10:49

Wynne

Stetigkeit einer Funktion und Unstetigkeitsstellen

Nachdem das mein erstes Beispiel zu diesem Thema ist, wollte ich mal nachfragen, ob meine Argumentationen zu folgendem Beispiel schlüssig sind:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} x^2, \:\: falls \:x \in [-1,1]\\ x+1, \:\: falls\: x<-1\\x-1 \:\: falls\: x>1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , ist diese Funktion stetig und welche art von Unstetigkeit, liegt an den Unstetigkeitsstellen vor?

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \sigma >0\:: d(f(t),f(x)) < \epsilon \: \forall t \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(t,x)< \sigma \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} D+ \end{eqnarray*}$ meine Definitionsmeneg ist

jetzt kann ich ja $\begin{eqnarray*} t:= x+\alpha \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} x < -1 \Rightarrow d(f(x+\alpha), f(x))<\epsilon = d(x+\alpha +1, x+1) <\epsilon \end{eqnarray*}$

und jetzt finde ich ganz sicher ein $\begin{eqnarray*} \alpha \neq 0 \end{eqnarray*}$ , sodass diese Bedingung erfüllt ist.

Das gleiche mache ich für $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$

womit dann $\begin{eqnarray*} x:=\{x\in D| x<-1 \vee -1<x<1 \vee 1<x\} \end{eqnarray*}$ die Menge der Punkte ist, in denen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Jetzt zu den Unstetigkeitsstellen:

$\begin{eqnarray*} x_0 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)= \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} f(-1+\epsilon)= \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}(-1+\epsilon)^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)= \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} f(-1-\epsilon)= \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}-1-\epsilon +1 = 0 \end{eqnarray*}$

jetzt ist $\begin{eqnarray*} f(x_0^+) \neq f(x_0^-) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Sprungstelle und das Gleiche nochmal für $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

Der zweite Teil der Aufgabe war:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} (x-a)^2, \:\: falls \:x <-1\\ 1-x^2, \:\: falls\: x\in[-1,2]\\bx^3+x \:\: falls\: x>2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

bestimmen sie $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$

Ich hab gesagt:

für die Stetigkeit das gleiche wie oben

für $\begin{eqnarray*} x_0 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)= \lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}f(-1-\epsilon)= \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}f(-1+\epsilon) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}(-1-\epsilon-a)^2)= \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}1-(-1+\epsilon)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1-a)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

womit dann $\begin{eqnarray*} a = -1 \end{eqnarray*}$ und das gleiche für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , womit ich dann $\begin{eqnarray*} b= -\frac{5}{8} \end{eqnarray*}$ erhalte

Vielen dank fürs durchschauen Wink

12.01.2016, 11:52

klarsoweit

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RE: Stetigkeit einer Funktion und Unstetigkeitsstellen

Zitat:

Original von Wynne
Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \sigma >0\:: d(f(t),f(x)) < \epsilon \: \forall t \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(t,x)< \sigma \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} D+ \end{eqnarray*}$ meine Definitionsmeneg ist

jetzt kann ich ja $\begin{eqnarray*} t:= x+\alpha \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} x < -1 \Rightarrow d(f(x+\alpha), f(x))<\epsilon = d(x+\alpha +1, x+1) <\epsilon \end{eqnarray*}$

und jetzt finde ich ganz sicher ein $\begin{eqnarray*} \alpha \neq 0 \end{eqnarray*}$ , sodass diese Bedingung erfüllt ist.

Das ist mir irgendwie zu kompliziert für diese Aufgabe. Ich würde einfach sagen, daß die Funktion auf den einzelnen Teilabschnitten ein Polynom ist, so daß die Funktion im Inneren eines Abschnitts grundsätzlich stetig ist. Dann bleibt nur noch die Untersuchung der "Nahtstellen". smile

Der Rest ist dann ok.

13.01.2016, 05:17

Wynne

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Du hast recht, so gehts leichter.

Danke nochmal fürs drüberschauen Freude

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