Poisson-Zufallsvariablen

12.01.2016, 11:48

gandalf24

Poisson-Zufallsvariablen

Hey Forum! Ich habe folgende Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\geq 1} \end{eqnarray*}$ eine Folge Poisson $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ -verteilter Zufallsvariablen. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} X_n \to 0 \end{eqnarray*}$ (in Wahrscheinlichkeit).

D.h. es ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} P\left(\left| X_n - 0 \right| \geq \varepsilon \right) = 1 \end{eqnarray*}$

Hat da vielleicht jemand einen Ansatz für mich? verwirrt

Danke!

12.01.2016, 13:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von gandalf24
D.h. es ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} P\left(\left| X_n - 0 \right| \geq \varepsilon \right) = 1 \end{eqnarray*}$

Gründlich misslungen - zu zeigen ist eher das ganze Gegenteil

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} P\left(\left| X_n - 0 \right| \geq \varepsilon \right) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Und das sollte hier kein Problem sein, denn für alle $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon<1 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} P\left(\left| X_n - 0 \right| \geq \varepsilon \right) = P(X\neq 0) = 1-P(X=0) \end{eqnarray*}$ , was man durch Einsetzen in die Poissonverteilung konkret ausrechnen kann.

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