Rechteck im Kreis maximieren

12.01.2016, 13:51	Morten9x6	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechteck im Kreis maximieren Meine Frage: Bestimmen Sie unter allen Rechtecken, deren Fläche in einer Kreisfläche vom Radius r enthalten sind, ein solches mit maximalem Flächeninhalt. Dabei gilt ein Rechteck als bestimmt, wenn dessen Seitenlängen bestimmt sind. Meine Ideen: Also: Fläche ist ja a*b. Und die Bedingung ist ja: a^2+b^2=(2?r)^2 Mein Problem: ich weiß nicht so richtig, was ich machen soll, da ich die Aufgabe nicht richtig verstehe. Hilfe!
12.01.2016, 13:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du hast doch de facto schon alles soweit zusammengetragen - es geht um ein Optimierungsproblem: Bei gegebenen Radius $\begin{align} r>0 \end{align}$ ist $\begin{align} A=a\cdot b\to \max! \end{align}$ unter Nebenbedingung $\begin{align} a^2 +b^2 = (2r)^2 \end{align}$ zu lösen. Wie man das nun angeht, da gibt es verschiedene Methoden, z.B.: a) Eine der beiden Variablen a oder b über die Nebenbedingung eliminieren, es verbleibt ein Extremalproblem mit einer Variablen (Schulstoff). b) Lagrange-Ansatz. Soweit nur die Standardmethoden.
12.01.2016, 14:27	peter786	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreise Also b= Wurzel aus ( 4 • r^2 - a^2 ). Aber ich weiß nicht was ich machen soll, um die Lösung zu finden, kann mir einer sagen, was ich tun muss ?
12.01.2016, 14:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, du willst Methode a) nehmen mit Elimination von Variable $\begin{align} b \end{align}$ , es ergibt sich der Flächeninhalt des Rechtecks $\begin{align} A = a\cdot b = a\cdot \sqrt{4r^2-a^2} \end{align}$ als Funktion von $\begin{align} a \end{align}$ . Noch nie eine derartige Extremalaufgabe gelöst (erste Ableitung bilden, Null setzen, ...) ?
12.01.2016, 19:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Aufgabensteller will wahrscheinlich, daß diese Aufgabe als Extremwertaufgabe mit Hilfe der Differentialrechnung gelöst wird. Auf der anderen Seite ist diese Aufgabe bei der elementaren Sachlage ein denkbar ungeeignetes Beispiel dafür. Wenn irgendwo der Spruch mit den Kanonen und Spatzen paßt, dann wohl hier. Wenn man das Rechteck durch eine Diagonale halbiert, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Hypotenuse ist aber unabhängig vom speziellen Dreieck immer der Kreisdurchmesser. Der Flächeninhalt des Dreiecks wird daher maximal, wenn die Höhe maximal wird. Und das geht aus Symmetriegründen nur beim gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck.
12.01.2016, 19:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es darum geht, es gibt noch so einige Methoden mehr, die mir auch besser gefallen, z.B. $\begin{align} ab \leq ab + \frac{(a-b)^2}{2} = \frac{a^2+b^2}{2} = 2r^2 \end{align}$ mit Gleichheit für $\begin{align} a=b=\sqrt{2}r \end{align}$ . Aber ich höre schon das unsägliche "wie kommt man da drauf", und dann möchte ich am liebsten schreien...
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