Adaptiertheit an der natürlichen Filtration

12.01.2016, 15:45	Fakelove1	Auf diesen Beitrag antworten »
Adaptiertheit an der natürlichen Filtration Hallo Matheboar-Mitglieder, Kann mir jemand bei folgendem Problem helfen: Sei $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ eine Folge von Zufallsvariablen und sei $\begin{eqnarray} \Im _n = \sigma(X_1,...X_n) \end{eqnarray}$ . Warum ist nun $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ an $\begin{eqnarray} (\Im_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ adaptiert? Gilt dies per Definition?
12.01.2016, 16:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelbar ja: "Adaptiert" heißt in dem Zusammenhang ja nichts weiter, als dass $\begin{align} X_n \end{align}$ bzgl. $\begin{align} \Im_n \end{align}$ messbar ist, was wiederum aufgrund der Festlegung $\begin{align} \Im _n = \sigma(X_1,\ldots,X_n) \end{align}$ unmittelbar klar ist: Denn das ist ja die kleinste Sigma-Algebra, bzgl. der die Zufallsgrößen $\begin{align} X_1,\ldots,X_n \end{align}$ messbar sind - ja, eben auch $\begin{align} X_n \end{align}$ ist darunter.

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