Vektorkomponenten eines Vektorprodukts bestimmen

12.01.2016, 16:26

AlexW1476

Vektorkomponenten eines Vektorprodukts bestimmen

Hallo,

ich stehe vor dem Problem, dass ich die Vektorkomponenten eines Vektorproduktes bestimmen soll. Jedoch ist mir unklar wie dies gehen soll.

Die Aufgabe:

a = [1; 5; 2]
b = [u; v; w]
c = [-23; -5; 24]

a x b = c

Also soll ich "b" bestimmen.

Ich habe nun ein Gleichungssystem welches wie folgt aussieht:

-23 = 5w - 2v
-5 = 2u - w
24= v - 5u

Nun habe ich mit dem Gauß-Algorithmus versucht das Gleichungssystem zu lösen, jedoch ohne Erfolg, da ich eine "Null-Zeile" bekomme.

Ich weiß jedoch, dass die Lösung [-2; 14; 1] sein soll.

Kann mir jemand erklären wie ich dahin komme soll?

Mit freundlichen Grüßen
Alex

12.01.2016, 16:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von AlexW1476
Nun habe ich mit dem Gauß-Algorithmus versucht das Gleichungssystem zu lösen, jedoch ohne Erfolg, da ich eine "Null-Zeile" bekomme.

Wieso "ohne Erfolg" ? Die Nullzeile bedeutet, dass es unendlich viele Lösungen u,v,w gibt - was ja auch stimmt!

Zitat:

Original von AlexW1476
Ich weiß jedoch, dass die Lösung [-2; 14; 1] sein soll.

Das ist nur eine mögliche Lösung.

12.01.2016, 16:34

AlexW1476

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Danke für die schnelle Antwort.

Jedoch wie bekomme ich dann "eine mögliche" Lösung?

12.01.2016, 16:35

IfindU

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RE: Vektorkomponenten eines Vektorprodukts bestimmen
Es sollte aber eine Lösung geben.

Es gilt $\begin{eqnarray*} a \times b \end{eqnarray*}$ steht senkrecht auf $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , also tut es $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} a \times c \end{eqnarray*}$ ist senkrecht auf a und c, und aus Mangel an Richtungen in drei Dimensionen parallel zu (einem) $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Dann muss man nur noch skalieren.

Edit: Habe wohl überraschend lange geschrieben.

12.01.2016, 16:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von AlexW1476
Jedoch wie bekomme ich dann "eine mögliche" Lösung?

Zeig doch mal dein letztes Gaußschema (die Nullzeile kannst du getrost weglassen).

12.01.2016, 16:39

AlexW1476

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Ich bin leider unfähig es in eine schöne Form zu bringen....

0 -2 5 -23
2 0 -1 -5
5 1 0 24

10 -2 0 -47
2 0 -1 -5
-5 1 0 24

0 0 0 0
2 0 -1 -5
-5 1 0 24

aber so sieht es aus.

12.01.2016, 16:46

HAL 9000

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Das ist doch Ok. Ich nehme an, die Spalten sind in der Reihenfolge u,v,w ? Dann kannst du doch $\begin{align*} u \end{align*}$ als Parameter nehmen, und $\begin{align*} v,w \end{align*}$ in Abhängigkeit von $\begin{align*} u \end{align*}$ schreiben:

Aus der zweiten Zeile folgt $\begin{align*} 2u-w=-5 \end{align*}$ , also umgestellt $\begin{align*} w = 5+2u \end{align*}$ .

Aus der dritten Zeile folgt $\begin{align*} -5u+v=24 \end{align*}$ , also umgestellt $\begin{align*} v = 24+5u \end{align*}$ .

Allgemein ergibt dies $\begin{align*} b = \begin{pmatrix} 0 \\ 24\\ 5\end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5\\ 2\end{pmatrix}\qquad (*) \end{align*}$ ,
speziell für $\begin{align*} u=-2 \end{align*}$ ergibt sich dein zunächst angegebenes $\begin{align*} b = \begin{pmatrix} -2 \\ 14\\ 1\end{pmatrix} \end{align*}$ , aber auch für alle anderen reellen $\begin{align*} u \end{align*}$ ist (*) Lösung deines Problems.

12.01.2016, 16:52

AlexW1476

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Ok jetzt ist der Groschen gefallen... =)

vielen Dank für die Hilfe

12.01.2016, 16:54

HAL 9000

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Anzumerken wäre noch, dass $\begin{align*} a\times b = c \end{align*}$ zwingend $\begin{align*} a\perp c \end{align*}$ und $\begin{align*} b\perp c \end{align*}$ erfordert. Wenn also wie hier $\begin{align*} a,c \end{align*}$ vorgegeben sind, dann kann es überhaupt nur Lösungen geben, wenn $\begin{align*} a\cdot c=0 \end{align*}$ erfüllt ist - was hier der Fall war. Augenzwinkern

12.01.2016, 16:58

AlexW1476

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Das schreib ich mir auf xD

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