Produkt und Faltung von Indikatorfunktionen

12.01.2016, 17:46

LittleGauss

Produkt und Faltung von Indikatorfunktionen

Hallo,

ich habe eine kurze Frage an euch.

Es sei $\begin{eqnarray*} A=[-a,a] \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine kompaktes Intervall und
$\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb R^2 \to \{0,1\} \end{eqnarray*}$ eine Funktion gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\chi_A(x-y)\chi_A(y) \end{eqnarray*}$ ,

wobei mit $\begin{eqnarray*} \chi_A(y)= \begin{cases} 1,&\text{ falls } y \in A \\ 0 ,&\text{ sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$
die charakteristische Funktion gemeint ist.

Ich habe mir diesen Ausdruck genauer angeschaut und eine Eigenschaft herausgefunden, nämlich, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch dargestellt werden kann als eine Funktion $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ , die nur von einer Variablen abhängt. Ich würde gerne von euch wissen, ob das so korrekt ist.

Es gilt

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\chi_A(x-y)\chi_A(y) \ne 0 , \text{ falls } x-y \in A \text{ und } y \in A \\ \Leftrightarrow x \in y+ A \text{ und } y \in A \\ \Leftrightarrow x \in 2A = \{ 2a \,|\, a\in A \} \\ \Leftrightarrow |x| \le 2a \end{eqnarray*}$

Ist die Überlegung bis hierhin nachvollziehbar?
Ich denke hier sieht man schon, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht mehr von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängt.

Wir haben also:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\chi_{2A}(x)=\chi_{[-2a,2a]}(x)=:\tilde f(x) \end{eqnarray*}$

Also man kann wie gesagt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch darstellen durch eine Funktion $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ , die nur von einer Variablen abhängt.

Könnt ihr mir sagen, ob das alles so richtig ist?

12.01.2016, 17:50

IfindU

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RE: Produkt und Faltung von Indikatorfunktionen
Setze $\begin{eqnarray*} a = x = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \widetilde f(x) = 1 \end{eqnarray*}$ .

12.01.2016, 17:50

Guppi12

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Hallo,

die Richtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ in deiner zweiten Äquivalenz ist falsch. Aus $\begin{eqnarray*} x\in 2A \end{eqnarray*}$ erhalten wir schließlich nicht $\begin{eqnarray*} y\in A \end{eqnarray*}$ (und natürlich auch nicht $\begin{eqnarray*} x\in y+A \end{eqnarray*}$ ).

12.01.2016, 18:25

LittleGauss

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Danke für die Antworten.

Jetzt sehe ich es auch, dass es falsch ist.

Gibt es dennoch eine Möglichkeit den Ausdruck irgendwie umzuschreiben?

Also um mal meine Motivation dahinter zu erklären:

Ich habe einen Ausdruck der Form

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \chi_A(x-y)\chi_A(y)u(x-y)v(y) \; dy \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} u, v \in L^2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$

Mein Ziel war es diesen Ausdruck so umzuschreiben, dass ich die Indikatorfunktion aus dem Integral rauskriege und dann etwas in der Gestalt

$\begin{eqnarray*} \chi(x) \cdot (u \star v)(x) \end{eqnarray*}$

erhalte.

Was denkt ihr, gibt es eine Möglichkeit dahin zu kommen?

Gibt es sonst noch irgendwelche interessanten Eigenschaften?

Also was ich schon mal auf jeden Fall herausgefunden habe, ist, dass die Träger sich beim Falten addieren, d.h. $\begin{eqnarray*} supp(f\star g) \subseteq supp(f) + supp(g) \end{eqnarray*}$ , sofern $\begin{eqnarray*} f, g \end{eqnarray*}$ kompakte Träger haben.

12.01.2016, 18:39

LittleGauss

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Also die Äquivalenz
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in 2A \end{eqnarray*}$
war ja falsch.

Aber wenn ich stattdessen schreibe
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in 2 A \text{ und } y \in A \end{eqnarray*}$

Ist es dann richtig?

Dann hätte man zumindest $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\chi_{2A}(x) \chi_A(y) \end{eqnarray*}$ .

12.01.2016, 18:45

Guppi12

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Ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube nicht, dass so etwas geht.

Wählt man $\begin{eqnarray*} u=v=\chi_{[-n,n]} \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} n>a \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \chi_A(x-y)\chi_A(y)u(x-y)v(y) \; dy = \chi_A\ast\chi_A(x) \end{eqnarray*}$ .

Unten steht aber

$\begin{eqnarray*} \chi(x) \cdot (u \star v)(x) = \chi(x)(\chi_{[-n,n]}\ast\chi_{[-n,n]})(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \chi_{[-n,n]}\ast\chi_{[-n,n]} \end{eqnarray*}$ ist (wenn ich mich richtig erinnere) in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht unabhängig von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Es muss aber $\begin{eqnarray*} \chi(x) = 1 \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung der $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gelten, weil sonst die Gleichheit sowieso nicht hinhauen kann.

Zu einem Edit: Nein, denn auch aus $\begin{eqnarray*} x\in 2A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in A \end{eqnarray*}$ folgt nicht $\begin{eqnarray*} x\in y+A \end{eqnarray*}$ .

Magst du sonst mal mitteilen, was du wirklich zeigen willst? Dann kann man dir vielleicht besser helfen.

12.01.2016, 18:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von LittleGauss
$\begin{eqnarray*} x \in y+ A \text{ und } y \in A \Leftrightarrow x \in 2A = \{ 2a \,|\, a\in A \} \end{eqnarray*}$

Hmm, zum einen gehört hier nur ein $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ statt $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$ hin (es sei denn, man ergänzt noch einen passenden Quantor links).

Zum anderen stimmt $\begin{align*} A\oplus A = 2A \end{align*}$ zwar für Intervalle und vielleicht auch noch andere Mengen $\begin{align*} A \end{align*}$ , aber i.a. ist das falsch:

Für $\begin{align*} A = [0,1] \cup [3,4] \end{align*}$ ist $\begin{align*} 2A = [0,2] \cup [6,8] \end{align*}$ , aber $\begin{align*} A\oplus A = [0,2]\cup [3,5]\cup [6,8] \end{align*}$ . Augenzwinkern

12.01.2016, 19:02

LittleGauss

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Ich will folgenden Ausdruck abschätzen
$\begin{eqnarray*} \Big\lVert \chi_{I_\varepsilon}(\cdot)(f \star f \star f )(\cdot) - \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \chi_{I_\varepsilon}(\cdot-y)\chi_{I_\varepsilon}(y-z)\chi_{I_\varepsilon}(z) f(\cdot-y)f(y-z)f(z) \; dz \, dy \Big\rVert_{L^2(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})} \le \cdots \le C \varepsilon^{3/2} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} I_{\varepsilon} = (-\frac{1}{2\sqrt \varepsilon}, \frac{1}{2\sqrt \varepsilon}) \end{eqnarray*}$ .

Dabei sei gesagt, dass $\begin{eqnarray*} |x|\le \frac{1}{2\sqrt \varepsilon} \end{eqnarray*}$ gegeben ist und $\begin{eqnarray*} f \in L^2(-\frac 1 2 , \frac 1 2 ) \end{eqnarray*}$ .
Also $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist das Argument des Ausdrucks in der Norm, also das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ steht für den Punkt " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " in den Argumenten in der Norm.

Meine Überlegung oben war es, dass ich die Indikatorfunktionen irgendwie aus dem Integral rauskriegen kann und für den rechten Term in der Norm auch einen Ausdruck der Form

$\begin{eqnarray*} \chi (\cdot) (f\star f\star f)(\cdot) \end{eqnarray*}$

erhalte.

Dann wüsste ich nämlich weiter und kriege auch die Abschätzung hin (u.a. mit der Youngschen Ungleichung für Faltungen).
Da meine obigen Überlegungen aber offenbar falsch waren, muss ich wohl irgendwie anders vorgehen ...... verwirrt

@ HAL9000 : Aber meine Menge $\begin{eqnarray*} A=[-a,a] \end{eqnarray*}$ ist ja ein Intervall. smile

12.01.2016, 19:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von LittleGauss
@ HAL9000 : Aber meine Menge $\begin{eqnarray*} A=[-a,a] \end{eqnarray*}$ ist ja ein Intervall. smile

Gut rausgeredet. Augenzwinkern

12.01.2016, 19:55

LittleGauss

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Zitat:

Original von HAL 9000
Hmm, zum einen gehört hier nur ein $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ statt $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$ hin (es sei denn, man ergänzt noch einen passenden Quantor links).

Was meinst du damit genau?

12.01.2016, 20:06

HAL 9000

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Rechts steht kein $\begin{align*} y \end{align*}$ , links steht aber eins. Wenn ich also an $\begin{align*} \Leftarrow \end{align*}$ denke, was heißt das dann links

$\begin{align*} \exists y\in A \ldots \end{align*}$ oder $\begin{align*} \forall y\in A \ldots \end{align*}$ , oder wie, oder was.

Ich möchte nur sensibilisieren, nicht allzu leichtfertig mit $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$ umzugehen, d.h., man sollte schon wissen, was man da tut.

12.01.2016, 21:00

LittleGauss

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Okay, meinst du folgendes...?

$\begin{eqnarray*} x-y \in A=[-a,a] \text{ und } y \in [-a,a] \Leftrightarrow y-a \le x \le y+a \text{ und } -a \le y \le a \Leftrightarrow \forall y \in A : -2a \le x \le 2a \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt bin ich aber immer noch unsicher wie ich den Ausdruck mit den Indikatorfunktionen umformen kann.

edit:

Definieren wir mal
$\begin{eqnarray*} F(x) = \int \int \chi_A(x-y)f(x-y)\chi_A(y-z)f(y-z)\chi_A(z)f(z) \; dz dy = (\chi_Af \star \chi_A f \star \chi_A f )(x) \end{eqnarray*}$

Dann kann ich ja schon mal sagen, dass $\begin{eqnarray*} supp(F) \subseteq 3 \bar I_\varepsilon = [-\tfrac{3}{2\sqrt \varepsilon}, \tfrac{3}{2\sqrt \varepsilon}] \end{eqnarray*}$ .

Hat einer vielleicht eine Idee wie ich das ausnutzen kann?

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