Konvergenz folgern

12.01.2016, 18:13	Fakelove1	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz folgern Hallo Mathematiker, Seien $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ iid ZV, mit $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ . Angenommen es gelte $\begin{eqnarray} \mathbb P(X_n\leq \epsilon )=\frac {1}{n^{\epsilon +1}}\to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Darf ich dann folgern, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \mathbb P(X_n\leq \epsilon) < \infty \end{eqnarray}$ . Danke im Voraus!!!!!!
12.01.2016, 19:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, das ist letzten Endes eine reine Analysis-Frage, nämlich die nach der Konvergenz von $\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\varepsilon+1}} \end{align}$ , und die kann man für alle $\begin{align} \varepsilon>0 \end{align}$ bejahen.
13.01.2016, 11:32	Fakelove111	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es ein Satz Namen, der diese als Aussage hat?
13.01.2016, 11:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt schon "Satz", man kann die Konvergenz mit diversen Reihenkonvergenzkriterien begründen, z.B. dem Verdichtungskriterium. Da das relativ wenig bekannt ist, vielleicht auch so durch eine Integralabschätzung: $\begin{align} x\mapsto \frac{1}{x^{\varepsilon+1}} \end{align}$ ist streng monoton fallend, damit gilt $\begin{align} \sum_{n=2}^m \frac{1}{n^{\varepsilon+1}} = \int\limits_1^m \frac{\dd x}{\lceil x\rceil^{\varepsilon+1}} < \int\limits_1^m \frac{\dd x}{x^{\varepsilon+1}} = \frac{1}{\varepsilon} \left( 1 - \frac{1}{m^{\varepsilon}} \right) < \frac{1}{\varepsilon} \end{align}$ für alle $\begin{align} m\in\mathbb{N} \end{align}$ , insgesamt demzufolge $\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\varepsilon+1}} = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{\varepsilon+1}} < 1 + \frac{1}{\varepsilon} \end{align}$ , gültig für alle $\begin{align} \varepsilon>0 \end{align}$ .

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