Mehrfachintegrale

12.01.2016, 20:46

Lau

Mehrfachintegrale

Meine Frage:
Meine Frage zu der Aufgabe im Anhang: muss ich in Polar oder in Kartesische Koordinaten rechnen? Welche Grenzen muss ich dann wählen?

Meine Ideen:
Ich hätte gedacht Polar und dann wäre meine Radius Grenze: 1/2phi+1 <= r <= 1/2phi +2 aber für phi bin ich ratlos..

13.01.2016, 09:21

Huggy

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RE: Mehrfachintegrale

Zitat:

Original von Lau
Meine Frage:
Meine Frage zu der Aufgabe im Anhang: muss ich in Polar oder in Kartesische Koordinaten rechnen?

Müssen muss man gar nichts. Aber Polarkoordinaten dürften wesentlich einfacher sein.

Zitat:

Ich hätte gedacht Polar und dann wäre meine Radius Grenze: 1/2phi+1 <= r <= 1/2phi +2 aber für phi bin ich ratlos..

Du musst einfach schauen, um welchen Winkel sich der Strahl vom Nullpunkt zur Kurve gedreht hat. Die Kurven beginnen auf der positiven x-Achse. Also ist die untere Grenze $\begin{eqnarray*} \varphi_u=0 \end{eqnarray*}$ . Wenn man das erste mal auf der negativen x-Achse ankommt, beträgt die Drehung $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Kommt dann wieder zur positiven x-Achse, beträgt die Drehung $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ usw. Würden die Kurven dort enden, wäre die obere Grenze $\begin{eqnarray*} \varphi_0=2\pi \end{eqnarray*}$ . Aber deine Kurven gehen da noch weiter.

13.01.2016, 11:18

Ehos

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In Polarkoordinaten lauten beide Kurven

-----------------------------
Kuve 1

$\begin{eqnarray*} x_1=\underbrace{\left ( \tfrac{1}{2}\phi+1\right )}_{\text{Radius }R_1(\phi)}\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1=\underbrace{\left ( \tfrac{1}{2}\phi+1\right )}_{\text{Radius }R_1(\phi)}\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$

-----------------------------
Kurve 2

$\begin{eqnarray*} x_2=\underbrace{\left ( \tfrac{1}{2}\phi+2\right )}_{\text{Radius }R_2(\phi)}\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2=\underbrace{\left ( \tfrac{1}{2}\phi+2\right )}_{\text{Radius }R_2(\phi)}\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$
-----------------------------

Ich würde die "Sektorformel von Leibniz" benutzen, welche allgemein lautet (Siehe WIKIPEDIA):

$\begin{eqnarray*} A=\int_{\phi_1}^{\phi_2} x\cdot \tfrac{dy}{d\phi}-y\cdot \tfrac{dx}{d\phi}\,\,d\phi \end{eqnarray*}$

Da du diejenige Fläche berechnen sollst, welche zwischen beiden Kurven eingeklemmt ist, musst du dieses Integral für beide Kurven berechnen und die Differenz bilden. Da es sich jeweils um 2 komplette Drehungen handelt, lautet das Integrationsintervall $\begin{eqnarray*} [\phi_1;\phi_2]=[0;4\pi] \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} A=\int_{0}^{4\pi} x_2\cdot \tfrac{dy_2}{d\phi}-y_2\cdot \tfrac{dx_2}{d\phi}\,\,d\phi-\int_0^{4\pi} x_1\cdot \tfrac{dy_1}{d\phi}-y_1\cdot \tfrac{dx_1}{d\phi}\,\,d\phi \end{eqnarray*}$

Setze hier die obigen Koordinatenfunktionen $\begin{eqnarray*} x_1, y_1, x_2, y_2 \end{eqnarray*}$ ein und integriere alles.

13.01.2016, 13:24

klauss

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Auf dem von Ehos vorgeschlagenen Weg vereinfacht sich die Rechnung dann letztlich wieder jeweils zu der Alternativformel (Siehe WIKIPEDIA weiter unten)
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}\int_{0}^{4\pi } \! \left[ r(\phi )\right]^2 \, d\phi \end{eqnarray*}$
Ich glaube, den Faktor 1/2 hat Ehos vergessen anzugeben?

13.01.2016, 13:41

Huggy

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Zitat:

Original von klauss
Auf dem von Ehos vorgeschlagenen Weg vereinfacht sich die Rechnung dann letztlich wieder jeweils zu der Alternativformel (Siehe WIKIPEDIA weiter unten)
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}\int_{0}^{4\pi } \! \left[ r(\phi )\right]^2 \, d\phi \end{eqnarray*}$

Da es hier um die Fläche zwischen 2 Kurven geht, ist diese Formel in der Form

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}\int_{0}^{4\pi } \! \left[ r_o^2(\phi )-r_u^2(\phi) \right] \, d\phi \end{eqnarray*}$

anzuwenden. Und dieser Weg erscheint mir deutlich einfacher als der Vorschlag von Ehos. Auch scheint der Fragesteller diesen Weg im Auge zu gehabt zu haben.

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