Es gibt keine stetige surjektive Funktion

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12.01.2016, 21:52	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt keine stetige surjektive Funktion Hallo zusammen, ich würde gerne mal wissen, ob meine Argumentation schlüssig ist für folgenden Beweis: Es gibt keine stetige surjektive Funktion $\begin{eqnarray} f: [0,1] \rightarrow [0,1) \end{eqnarray}$ Nun, da die Funktion surjektiv sein soll, muss ja jeder y-Wert erreicht werden. Aufgrund des offenen Intervalls gibt es ein s mit $\begin{eqnarray} s < \|\|f\|\|_{D} \end{eqnarray}$ Also muss ein $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ exisitieren, sodass (bei monoton steigender Funktion f) gilt: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{h\rightarrow 0}{f(x_{0}-h)} = f(x_{0}) \in \mathbb W \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{f(x_{0}+h)} = s \notin \mathbb W \end{eqnarray}$ . Bei monoton fallender f verhält sich der Sachverhalt natürlich umgekehrt. Damit ist die Surjektivität ja bereits verletzt. Nun frage ich mich aber: Kann ich das so lassen? Denn ich kann $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ ja nicht wählen, sodass $\begin{eqnarray} f(x_{0}) = max{f} \end{eqnarray}$ gilt
12.01.2016, 22:59	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Es gibt keine stetige surjektive Funktion Wie kommst du darauf, dass f monoton sein muss? Das Intervall [0,1] ist kompakt. Hilft das schon?
13.01.2016, 00:45	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompakt sagt mir gerade leider nichts Auf monoton kam ich: zumindest muss f an der Stelle ja ein Superman haben bzw ein Extrema, was er aber noch nicht definiert haben. Und konstant kann sie nicht wegen surkektivität doch nicht sein?
13.01.2016, 18:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne Kompaktheit geht es nicht - auch wenn sie dir nichts sagt Woher weißt du, dass die Funktion ein Maximum annimmt? Wenn du das begründen kannst, bist du praktisch fertig - ganz ohne Monotonie oder Ahnlichem
13.01.2016, 21:42	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Alsko kompakt bedeutet abgeschlossen und beschränkt? Nun gut, ich sehe jetzt den Zusammehang nicht. Nimmt die Funktion wirklich ein Maximum an? Ich meine, für jedes y gibt es mindestens ein x. Da die Zielmenge beschränkt aber offen ist, gibt es ein größtes f(x)<s, oder?
13.01.2016, 21:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine stetige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge ihr Maximum an. Das ist ein Standardergebnis, das in keiner Vorlesung fehlt Wenn du das nicht kennst, kannst du es auch mit einem Widerspruchsbeweis machen. Betrachte eine Folge mit $\begin{eqnarray} \lim f(x_n)=s \end{eqnarray}$ und überlege, dass die Folge $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ eine konvergente Teilfolge hat.
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15.01.2016, 19:02	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, ich habe mir den Satz mal durchgelesen und wir hatten den auch, ich hatte es nur nicht mitgeschrieben und würde so argumentieren: Vorraussetzung: f sei stetig Da das Intervall des Wertebereichs $\begin{eqnarray} I = [0,1] \end{eqnarray}$ kompakt ist, existiert ein $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x_{0}) = max(f) = s < 1 \end{eqnarray}$ . Annahme: f ist surjektiv Da $\begin{eqnarray} s \in\mathbb W \end{eqnarray}$ und f stetig und $\begin{eqnarray} \mathbb W = [0,1) \end{eqnarray}$ , exisiert ein $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1 > f(x_{1}) > s \end{eqnarray}$ im Gegensatz zur Vorraussetzung. So?
15.01.2016, 21:19	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Teil mit der Annahme kannst du dir auch sparen. Wegen $\begin{eqnarray} f(x)\leq \max f <1 \end{eqnarray}$ wird keiner der Werte im offenen Intervall $\begin{eqnarray} (\max f, 1) \end{eqnarray}$ angenommen.
16.01.2016, 15:01	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, ich bedanke mich!

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