Harmonische Funktionen erkennen

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scoubina Auf diesen Beitrag antworten »
Harmonische Funktionen erkennen
Hallo =)
Ich habe bei folgender Aufgabe ziemlich Schwierigkeiten: Ich soll anhand von den 4 Funktionen sagen, welche harmonische sind und welche nicht.
Wie kann ich das erkennen? Ich weiss, dass bei einer Harmonischen Funktion der LaPlace-Operator = 0 ist. Sprich die Funktion 2 mal differenziert ergibt 0. Aber kann ich das irgendwie erkennen?!

Viele Grüsse

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10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Sagt dir die Mittelwerteigenschaft bzw. das Maximumprinzip etwas?
scoubina Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, stimmt, da war doch was!
Soweit ich mich erinnern kann besagt das Maximumsprinzip, dass jede harmonische Funktion ihr Maximum auf dem Rand annimmt, richtig?

Das heisst, dass innerhalb des Gebietes darf sie nirgends den Wert vom Rand erreichen.

Hm, aber irgendwie erkenne ich das auf den Bildern schlecht.
Also bei der ersten Funktion ist es im Innern gleich hoch wie am Rand, folglich ist sie nicht harmonisch?

Beim zweiten Bild ist das Maximum am Rand -> Harmonisch

Bei der dritten wäre das Maximum auch am Rand -> Harmonisch

Und beim vierten Bild erreicht sie das Maxmium am Rand und im Innern, dass heisst auch nicht harmonisch?
scoubina Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ne falsch. Beim vierten Bild ist die Funktion ja leicht gekrümmt. Das heisst das Mamixmum befindet sich ebenfalls am Rand und deshalb ist sie auch harmonisch?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur ersten Funktion: Richtig, die ist nicht harmonisch. Man könnte das auch wie folgt begründen: Harmonische Funktionen, die auf einem Gebiet (d.h. auf einer offenen zusammenhängenden Menge) definiert sind und die in dem Gebiet ein lokales Extremum besitzen, sind konstant.
(Wichtig ist der Zusammenhang: Auf nicht zusammenhängenden Mengen ist das natürlich falsch.)

Zur zweiten Funktion: Dass eine Funktion im Inneren des (zusammenhängenden) Definitionsbereiches kein globales Extremum annimmt, ist nur ein notwendiges Kriterium, aber kein hinreichendes für die Harmonizität (außer die Funktion ist konstant). Außerdem könnte man das ja auch so interpretieren, dass man nur einen Ausschnitt des Graphen sieht, die Randwerte also gar nicht abgebildet sind.
Wenn du aber mal die Mittelwerteigenschaft an einigen Punkten überprüfst, dann könntest du vermuten, dass die Funktion dort diese Eigenschaft besitzt. Also wird sie wohl harmonisch sein. Augenzwinkern
Du kannst auch mal folgendes machen: Man sieht, dass in jedem Punkt die Krümmungen in x- und y- Richtung unterschiedliche Vorzeichen haben, was auch ein gutes Indiz für ist.

Dritte Funktion: Gleiches Problem mit dem globalen Extrema wie bei der zweiten Funktion. Aber hier kann man die Harmonizität direkt nachrechnen: Diese Ebene ist der Graph einer affinen Funktion mit .

Vierte Funktion: Hier siehst du, dass es im Allgemeinen schief geht, sich nur auf die Extrema zu konzentrieren. Die Funktion ist nämlich nicht harmonisch. smile
Schau dir mal den Punkt genau in der Mitte an. Dort ist die Krümmung in "Links-Rechts-Richtung" betragsmäßig größer als in "Vorn-Hinten-Richtung". Deswegen wird wohl nicht gelten.
Ich habe mal ein bisschen rumprobiert: Der Graph von sieht ähnlich aus wie in der Aufgabe. Gib mal Plot3D[(2+y^2) Sin[x], {x, -15, 15}, {y, -6.6, 6.6}] in http://www.wolframalpha.com/ ein. Und dann kannst du nachrechnen, dass diese Funktion nicht harmonisch ist.
scoubina Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen!! smile

Nur ein kleines Problem besteht noch: in der Aufgabe steht: Eine der 4 Funktionen ist sicherlich nicht harmonisch, welche und wieso? (Habe es vorher nicht genau gelesen.)

Mit deinen Begründungen wären jetzt aber 2 nicht harmonisch?
 
 
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, wenn in der Frage steht "sicherlich nicht", dann ist ganz sicher die erste Funktion gemeint.

Vielleicht gibt es eine harmonische Funktion, deren Graph auch ähnlich aussieht wie die vierte Funktion. Und die Mittelwerteigenschaft nur anhand einer Skizze des Graphen zu überprüfen, ist ja auch nicht so einfach.

Bei der ersten Funktion gibt es aber, wie oben schon gesagt, eine Eigenschaft, bei der man auf den ersten Blick feststellen kann, dass sie nicht harmonisch ist: Sie ist nicht konstant und hat im Innern des Definitionsbereichs ein lokales Maximum.
scoubina Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke! :-)

Nu noch ein paar Sache, die ich nicht ganz verstehe: wenn die Funktion im Innern ein lokales Maximum besitzt, muss sie konstant sein um harmonisch zu sein. Dh. überall den gleichen Wert aufweisen? Wie kann man denn da noch ein lokales Maxmium haben?

Und bei der zweiten Funktion hast du vom Mittelwertprinzip gesprochen. Was besagt das nochmal? Also wie kann ich das bei so einer Skizze anwenden?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir nochmal die Definition eines lokalen Extremums an: Bei einer konstanten Funktion ist jeder Punkt des Definitionsbereiches eine lokale Maximalstelle und eine lokale Minimalstelle.

Zur Mittelwerteigenschaft: Du nimmst einen Punkt aus dem Definitionsbereich und legst um diesen Punkt eine Kugel (mit einem Radius, sodass die Kugel vollständig im Definitionsbereich enthalten ist). Dann bildest du den Mittelwert aller Funktionswerte der Punkte auf dem Rand der Kugel, diesen nennen wir .
Die (starke) Mittelwerteigenschaft besagt nun: Eine Funktion ist genau dann harmonisch, wenn für alle und für alle gilt: (das abhängig von wieder nur maximal so groß wie oben erklärt); wenn also für alle Kugeln der Mittelwert der Funktionswerte des Randes gleich dem Funktionswert des Mittelpunktes der Kugel ist.

In Skizzen kann man natürlich nur ungefähr überprüfen, ob die Mittelwerteigenschaft erfüllt sein könnte; genaue Werte kann man da nicht ablesen.

Auf Wikipedia findest du auch, wie man das formal aufschreibt.

Edit: Jetzt, wo ich mir die Formel auf Wikipedia anschaue, bin ich der Meinung, dass sie nicht stimmt. Ich vermisse da einen Faktor im Nenner. verwirrt
Ich werde mir das evtl. morgen oder am Wochenende nochmal anschauen; ich melde mich dann hier nochmal, was nun richtig ist. smile
scoubina Auf diesen Beitrag antworten »

Ok super! Ich danke dir vielmals für deine tollen Erklärungen! Du hast mir sehr geholfen! smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir die Formel jetzt nochmal angeschaut.

Ich denke, da müsste entweder stehen (so wie es auch auf der Diskussionsseite kommentiert wurde) oder , wobei das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel ist (wegen ist das das selbe).

Übersehe ich etwas?
scoubina Auf diesen Beitrag antworten »

Hello! Ich hätte nochmals eine Frage zu harmonischen Funktionen.
Wenn meine Funktion sozusagen ein spitzes Dach wäre. Ist sie dann harmonisch?
Weil am Rand würde sie ja dann eigentlich das Maxmium annehmen. Aber in der Mitte auch?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau meinst du mit "spitzes Dach"?

"Spitz" würde ja bedeuten, dass die Funktion gar nicht differenzierbar ist. Der Begriff "harmonisch" ist aber nur für zweimal stetig differenzierbare Funktionen definiert.
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