Wertebereich Wurzelfunktion

13.01.2016, 14:34

majorNese

Wertebereich Wurzelfunktion

Hallo,
bie folgender Aufgabe habe ich Probleme:
$\begin{eqnarray*} x\sqrt{\frac{x}{x-1} } \end{eqnarray*}$

Ich habe die Extremstelle bzw das Minimum bei x=3/2 bestimmt nun weiß ich aber nicht wie ich den Wertebereich angeben soll. Ich habe ja bei x=1 eine Polstelle. Laut WA habe ich des Weiteren eine lineare Asymptote, wie bestimme ich diese? Wir haben das in der Vorlesung bei gebrochenrationalen Funktionen immer mit einer Polynomendivision gemacht, bei diesem Beispiel geht das aber schlecht.

Danke für die Hilfe!

13.01.2016, 14:46

HAL 9000

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Da du ihn nicht angegeben hast, sollte man sich vielleicht zuerst mal Gedanken über den Definitionsbereich machen:

$\begin{align*} x>1 \end{align*}$ klappt, mit positivem Radikanden.

$\begin{align*} 0<x<1 \end{align*}$ klappt nicht wegen negativem Radikanden, $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ scheitert an der Wurzelordnung, $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ an Division durch Null.

$\begin{align*} x<0 \end{align*}$ ist theoretisch von der Termgültigkeit her wieder denkbar, aber ich schätze mal, den Bereich willst du gar nicht betrachten - oder? verwirrt

EDIT: Upps, hab mich verlesen, ich dachte, da steht $\begin{align*} \sqrt[x]{\frac{x}{x-1}} \end{align*}$ , dabei steht da wohl $\begin{align*} x\cdot \sqrt{\frac{x}{x-1}} \end{align*}$ . Ok, alles was sich dadurch ändert ist, dass der Term für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ dann doch definiert ist. smile

13.01.2016, 15:07

majorNese

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Den Def. Bereich haben wir schon bestimmt: x<=0 oder x>1

13.01.2016, 15:27

HAL 9000

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Die Parameter $\begin{align*} a\geq 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ der linearen Asymptote $\begin{align*} ax+b \end{align*}$ für $\begin{align*} x\to\infty \end{align*}$ kannst du folgendermaßen rauskriegen: Bedingung ist, dass der Restterm

$\begin{align*} r(x) := x\sqrt{\frac{x}{x-1}} - (ax+b) \end{align*}$

für $\begin{align*} x\to\infty \end{align*}$ verschwindet. Nach dritter binomischer Formel ist nun

$\begin{align*} r(x) = \frac{\frac{x^3}{x-1}-(ax+b)^2}{x\sqrt{\frac{x}{x-1}} + ax+b} = \frac{x^2+x+1+\frac{1}{x-1}-a^2x^2-2abx-b^2}{x\sqrt{\frac{x}{x-1}} + ax+b} = \frac{x^2(1-a^2)+x(1-2ab)+1-b^2+\frac{1}{x-1}}{x\sqrt{\frac{x}{x-1}} + ax+b} \end{align*}$

Es gilt $\begin{align*} \lim_{x\to\infty} r(x)=0 \end{align*}$ genau dann, wenn die quadratischen und linearen Terme im Zähler fehlen, also Null sind...

Zitat:

Original von majorNese
Den Def. Bereich haben wir schon bestimmt: x<=0 oder x>1

Das hättest du ruhig mit anbringen können, schließlich sind Definitions- und Wertebereich miteinander verknüpft: Man kann letzteren schwerlich ohne ersteren bestimmen.

13.01.2016, 16:49

klauss

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Eine wiederverwendbare kürzere Alternativmethode sollte hier vielleicht nicht verschwiegen werden:

$\begin{eqnarray*} x\left(\frac{x}{x-1} \right)^{\frac{1}{2} } = x \left(1+\frac{1}{x-1} \right)^{\frac{1}{2} } \approx x \left(1+\frac{1}{2(x-1)} \right) \end{eqnarray*}$ (für "große" x)

Noch 2 kleine Schritte, dann kann man die Asymptote in der von gebrochenrationalen Funktionen gewohnten Form auslesen.

13.01.2016, 17:32

HAL 9000

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Ja, ich hatte auch schon überlegt, mit Landau

$\begin{align*} \sqrt{1+\frac{1}{x-1}} = 1 + \frac{1}{2(x-1)} + O\left( \frac{1}{(x-1)^2} \right) = 1 + \frac{1}{2(x-1)} + O\left( \frac{1}{x^2} \right) \end{align*}$

zu argumentieren, hab dann aber oben "Schulmathematik" gelesen und es deswegen unterlassen. Prinzipiell wirklich der schnellere Weg. Augenzwinkern

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