Oberflächenintegrale berechnen

13.01.2016, 13:45

AnnaNatascha

Oberflächenintegrale berechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen ;-)

Mal wieder sitze ich vor Altklausuraufgaben (Analysis 3) und hänge an einer kleinen Stelle...
Generell ist mir klar, wie ich ein Oberflächenintegral bestimme...die Ableitung nach den Variabeln bestimmen, daraus das Kreuzprodukt und von diesem die Norm und die Parameter in die Funktion einzusetzen sind kein Problem...
Jetzt habe ich aber folgende Aufgabe
F:= $\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y,z) \in R^3: x^2+y^2\leq 4, x^2+y^2=z^2, z\geq 0\right\} \end{eqnarray*}$ und ich soll folgendes Integral lösen: $\begin{eqnarray*} \int_{F}^{} \! (x^4-y^4+y^2z^2-z^2x^2+1)\, d\alpha \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Problem ist nun aber die Parameter "einzuführen". Dass ich x als rcos(.) und y als rsin(.) setzte erscheint mir logisch...ich hätte dann folgendes nach den beiden Variabeln abgeleitet: (rcos(.), rsin(.), r) aber in der Musterlösung steht anstatt dem r in der dritten Komponente r^2...wie kommt denn das zustande? Klar weiß ich dass mit den anderen beiden Komponenten gelten muss dass r^2=z^2, aber warum trage ich dann auch dieses r^2 in die dritte Komponente ein? Irgendwie stehe ich total auf dem Schlauch...
Wäre total nett wenn mir jemand weiterhelfen könnnte.

Vielen lieben Dank schon einmal.

13.01.2016, 14:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von AnnaNatascha
aber in der Musterlösung steht anstatt dem r in der dritten Komponente r^2

Von der dritten Komponente welchen Wertes/Struktur sprichst du denn hier? verwirrt

13.01.2016, 14:51

AnnaNatascha

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An der stelle an der ich r geschrieben habe bei (rcos(.), rsin(.), r) dort muss r^2 stehen...aber warum?

13.01.2016, 14:55

HAL 9000

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Nein, da muss r stehen - zumindest, wenn deine Angabe von F stimmt (überprüfe das nochmal genau, Symbol für Symbol, Exponent für Exponent). verwirrt

Übrigens, kleiner Tipp zu dem "ausladenden" Integranden: Es ist

$\begin{align*} x^4-y^4+y^2z^2-z^2x^2 = (x^2-y^2)(x^2+y^2) + (y^2-x^2)z^2 = (x^2-y^2)(x^2+y^2-z^2) \end{align*}$ .

Was das in $\begin{align*} F \end{align*}$ (wenn es denn stimmt, s.o.) bedeutet, sollte dann klar sein. Big Laugh

13.01.2016, 15:04

AnnaNatascha

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Also hier nocheinmal die Aufgabe...die scheint zu stimmen...:
[attach]40430[/attach]
Und das hier ist der Anfang der Musterlösung...ist diese dann falsch?
[attach]40431[/attach]

Vielen Dank für die Hilfe (im Mom blicke ich gar nicht mehr durch ;-()

13.01.2016, 15:47

HAL 9000

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Für $\begin{align*} x=r\cos(\varphi),y=r\sin(\varphi) \end{align*}$ folgt bekanntlich $\begin{align*} x^2+y^2=r^2 \end{align*}$ , und da in $\begin{align*} F \end{align*}$ ja $\begin{align*} x^2+y^2=z^2 \end{align*}$ steht, folgt $\begin{align*} z^2=r^2 \end{align*}$ und damit wegen $\begin{align*} z\geq 0,r\geq 0 \end{align*}$ auch $\begin{align*} z=r \end{align*}$ - da gibt es keinen Spielraum für Interpretationen.

Passen würde diese andere Parametrisierung $\begin{align*} (x,y,z)=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi),r^2) \end{align*}$ , wenn in der Definition von $\begin{align*} F \end{align*}$ abweichend $\begin{align*} x^2+y^2=z \end{align*}$ stehen würde - was ich zugegebenermaßen oben vermutet hatte. Aber du bist rehabilitiert, und die "Musterlösung" hat Mist gebaut. Augenzwinkern

13.01.2016, 18:36

AnnaNatascha

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Super, vielen lieben Dank! Der Abend ist gerettet ;-)

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