Konvergenzbereich

13.01.2016, 17:42

Acer__33

Konvergenzbereich

Meine Frage:
Hallo,

ich verstehe nicht, warum bei folg. Aufg.(laut Lösung) der rechte Rand konvergiert und der Linke nicht.

Angabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{3^{n} }{5^{n}*x^{4} } *(x+1)^{n} \end{eqnarray*}$

Danke !!

Meine Ideen:
Als Konvergenzradius kommt 5/3 raus, darauf komme ich. Aber nicht, warum der linke Rand nicht konvergiert, der Rechte aber schon.

13.01.2016, 20:23

HAL 9000

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Steht da wirklich $\begin{align*} x^4 \end{align*}$ im Nenner?

Na egal, die Reihe ist an beiden Enden des Konvergenzintervalls divergent.

14.01.2016, 06:23

Acer__33

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Ne sry. da steht natürlich n^4.

Dann ist die Lösung falsch oder wie?

14.01.2016, 06:55

IfindU

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Jetzt ist es an beiden Enden konvergent.

14.01.2016, 09:28

HAL 9000

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Und wenn da weder $\begin{align*} x^4 \end{align*}$ noch $\begin{align*} n^4 \end{align*}$ , sondern nur $\begin{align*} n \end{align*}$ steht, dann ist die Reihe tatsächlich an einem Randpunkt konvergent und an dem anderen divergent - allerdigs ist sie dann am linken Randpunkt konvergent und am rechten divergent. Augenzwinkern

@Acer__33

Wie lautet die Reihe dennn nun wirklich - konzentriere dich!

14.01.2016, 20:22

Acer__33

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@HAL_9000

die Reihe lautet $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{n} \frac{3^{n} }{n^{4}*5^{n} }*(x-(-1))^{n} \end{eqnarray*}$

daraus ergibt sich ein Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ um den Konvergenzbereich zu ermitteln brauche ich ja xo +r und x0-r . X0 ist in diesam Fall -1. Daraus folgt:

Linker Rand: -1-5/3 = $\begin{eqnarray*} -\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

Rechter Rand: -1+5/3= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Dann einsetzen:
L.R.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{n} \frac{3^{n} }{n^{4}*5^{n} }*(-\frac{8}{3}-(-1))^{n} \end{eqnarray*}$
Dieser divergiert laut Lösung.
Jetzt verstehe ich es. Zuvor hatte ich mich verrechnet und hatte nicht -5/3, sondern -2/3, für -2/3 wäre diese Reihe dann auch konvergent gewesen oder?

R.R.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{n} \frac{3^{n} }{n^{4}*5^{n} }*(\frac{2}{3}-(-1))^{n} \end{eqnarray*}$
Diese Reihe ist laut Lösung konvergent.Aber warum? $\begin{eqnarray*} (\frac{5}{3} )^{n} \end{eqnarray*}$ ist doch die geom. Reihe und diese divergiert.

Vielen Dank

14.01.2016, 21:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Acer__33
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{n} \frac{3^{n} }{n^{4}*5^{n} }*(-\frac{8}{3}-(-1))^{n} \end{eqnarray*}$
Dieser divergiert laut Lösung.

Wie bereits von IfindU festgestellt, ist das falsch: Sie konvergiert.

$\begin{align*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^4\cdot 5^n}\cdot \left(-\frac{8}{3}-(-1)\right)^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^4\cdot 5^n}\cdot \left(-\frac{5}{3}\right)^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^4} \end{align*}$ .

Desgleichen die Reihe am anderen Randpunkt:

$\begin{align*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^4\cdot 5^n}\cdot \left(\frac{2}{3}-(-1)\right)^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^4\cdot 5^n}\cdot \left(\frac{5}{3}\right)^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \end{align*}$ .

15.01.2016, 10:19

Acer__33

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Ok danke

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