e-Funktion aus zwei Punkten

13.01.2016, 19:35

pf@nne

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e-Funktion aus zwei Punkten

Moin,

ich möchte aus einer gemessenen Erwärmungskurve die die Zeitkonstante Tau sowie den Faktor k für weitere Berechnungen ermitteln.

Gemessen habe ich folgende zwei Punkte währen der Erwärmung der Platine im Ofen:

P1(1|32,4)
P2(66|60,32)

Die Sekunden liegen auf der x-Achse, die Temperatur auf der y-Achse.

Die Erwärmung folgt der Funktion:

$\begin{eqnarray*} T=k(1-e^{-\frac{t}{Tau} }) \end{eqnarray*}$

Gesucht ist jetzt k und Tau.
Da ich zwei Punkte habe kann ich zwei Gleichungen aufstellen.

I $\begin{eqnarray*} 32,4=k(1-e^{-\frac{1}{Tau} }) \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} 60,23=k(1-e^{-\frac{66}{Tau} }) \end{eqnarray*}$

Jetzt verließen sie mich...... verwirrt

verwirrt

Ich habe mal versucht nach k umzustellen und dann gleichzusetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{32,4}{1-e^{-\frac{1}{Tau}}} = \frac{60,23}{1-e^{-\frac{66}{Tau}}} \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte jemand dabei helfen an das Tau zu kommen...... Wink

Wink

Gruß
Pf@nne

13.01.2016, 19:57

mYthos

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Dividiere die beiden Gleichungen durcheinander, also z.b. II durch I
$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ fällt heraus und du kannst nach $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ umstellen ...

mY+

13.01.2016, 20:28

pf@nne

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Wusste garnicht, dass man zwei Gleichungen einfach so dividieren kann....

$\begin{eqnarray*} \frac{60,23=k(1-e^{-\frac{66}{Tau} })}{32,4=k(1-e^{-\frac{1}{Tau} })} \end{eqnarray*}$

würde dann

$\begin{eqnarray*} 1,859=\frac{ 1-e^{-\frac{66}{Tau}} } {1-e^{-\frac{1}{Tau}} } \end{eqnarray*}$

sieht für mich immer noch nicht wirklich einfacher aus..... verwirrt

verwirrt

Ist ja auch das Gleiche wie oben

Zitat:

Ich habe mal versucht nach k umzustellen und dann gleichzusetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{32,4}{1-e^{-\frac{1}{Tau}}} = \frac{60,23}{1-e^{-\frac{66}{Tau}}} \end{eqnarray*}$

14.01.2016, 00:08

mYthos

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Den Bruchstrich darfst du NICHT über das "=" - Zeichen hinweg ziehen, sondern links und rechts stehen zwei getrennte Brüche!

Die Gleichung in $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist vom Grad 66 und demnach mit einem Näherungsverfahren zu lösen.
Substituiere $\begin{eqnarray*} e^{-\frac 1 {\tau}} = h \end{eqnarray*}$ , dann lautet die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 32.4 (1 - h^{66}) = 60.23 (1 - h) \end{eqnarray*}$

Sie hat mindestens zwei reelle Lösungen.
Eine Lösung h = 1 ist trivial, diese ist auszuschließen, daher suchen wir die zweite reelle Lösung.
Diese muss in dem offenen Intervall zwischen 0 und 1 liegen, somit können wir das Lösungsintervall entsprechend beschränken.

Rückeinsetzen von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in die Substitution führt schließlich zu $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$

mY+

14.01.2016, 09:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von pf@nne
Die Erwärmung folgt der Funktion:

$\begin{eqnarray*} T=k(1-e^{-\frac{t}{Tau} }) \end{eqnarray*}$

Ich finde den Ansatz etwas ungewöhnlich:

Danach startet die Erwärmung zum Zeitpunkt $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ zwingend mit der Temperatur $\begin{align*} T(0)=0 \end{align*}$ ? Ok, kann natürlich sein, dass du mit $\begin{align*} T \end{align*}$ nicht die Temperatur, sondern die Temperaturänderung bezogen auf den Startzeitpunkt der Erwärmungsphase meinst. In dem Sinne ist dann $\begin{align*} k \end{align*}$ die Temperaturdifferenz zwischen Anfangs- und Ofentemperatur.

EDIT: Ich hab mir mal den Spaß gemacht und ausgerechnet, was oben für $\begin{align*} k \end{align*}$ rauskommt:

$\begin{align*} k=60.23 \end{align*}$ , also scheinbar genau die Temperatur zum Zeitpunkt t=66

Natürlich nicht "genau":

Mit der Stellenschraube am CAS gedreht bekommt man $\begin{align*} k \approx 60.23000000000000000000447 \end{align*}$ , ist natürlich für praktische Belange aberwitzig. Man muss es daher wohl eher so betrachten: Zum Zeitpunkt t=66 ist die Erwärmung nach praktischen Belangen längst abgeschlossen, die erreichte Temperatur 60.23 entspricht also $\begin{align*} \lim_{t\to\infty} T(t) = k \end{align*}$ . In dem Sinne würde die Rechnung also eher so laufen: Man setzt $\begin{align*} k=T(66)=60.23 \end{align*}$ und berechnet damit dann $\begin{align*} \tau \end{align*}$ über die andere Gleichung $\begin{align*} T(1)=32.4 \end{align*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.01.2016, 12:55

pf@nne

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Moin (I-1 B-1 M-1)9000, Big Laugh

Big Laugh

du hast natürlich recht das mit der gegebenen Funktion bei t=0 auch die Temperatur = 0 ist.
Die Zeit hat einen Offset, weil ich die Messung bei 30°C begonnen habe.

Für meine halbmathematische Ausdrucksweise möchte ich mich schon im Vorwege entschuldigen.

Die Funktion

$\begin{eqnarray*} T=k(1-e^{-\frac{t}{Tau} }) \end{eqnarray*}$

interpretiere ich so:

Tau ist die Zeitkonstante der $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ -Funktion.
$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist der Endwert gegen den die Funktion konvergiert, also die Asymptote?

Ohne $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} Tau \end{eqnarray*}$ = 1 würde die Funktion $\begin{eqnarray*} Tau \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T=1-e^{-\frac{t}{Tau} } \end{eqnarray*}$

nach ca. 5 Tau gegen 1 konvergieren (konvergiert sein?).

Mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ konvergiert die Funktion gegen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

So weit erstmal mein Verständnis.

Aufgenommen habe ich eine Kurve die in etwa so aussieht:

Durch "probieren" habe ich so
$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ = 84
$\begin{eqnarray*} Tau \end{eqnarray*}$ = 85
$\begin{eqnarray*} Offset \end{eqnarray*}$ = 40 (40 Sekunden vor Beginn meiner Messung wäre t=0 und T=0)
ermittelt.

Dieses "Probieren" möchte ich jetzt berechnen um bei verschiedenen Werkstücken (Tau) und verschiedenen Heizleistungen (k) durch eine Messung bis 100°C das $\begin{eqnarray*} Tau \end{eqnarray*}$ und den Temperaturendwert $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Ziel ist es so bestimmte Gradienten in bestimmter Zeit abzufahren.

Ich hoffe ich konnte mein Anliegen ausreichend genau erklären......

Meine Messtabelle habe ich nochmal angehängt.
DC=1 ist 100% Heizleistung
DC=0,5 ist 50% Heizleistung

Gruß
Pf@nne

P.S. zünden oder nicht...... Big Laugh

Big Laugh

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15.01.2016, 11:25

pf@nne

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Sieht denn keiner eine Möglichkeit einem unwissenden ein wenig Erhellung zu verschaffen?
Oder fehlen noch Angaben zur Problemstellung?

Ich bin leider selber nicht in der Lage die Gleichung umzustellen... traurig

traurig

15.01.2016, 12:15

HAL 9000

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Irgendwie hast du die Sache falsch angepackt:

Allem Anschein nach hast du doch nicht nur zwei Datenpaare, sondern eine ganze Messreihe zur Verfügung. Da gibt es doch bessere Mittel, gute Approximationen für die beiden Parameter $\begin{align*} k,\tau \end{align*}$ zu erzielen, z.B. Regression per MKQ. Hier allerdings nichtlinear, da sollte man besser ein Statistiksystem (z.B. R) oder Matlab oder irgendein CAS nehmen.

15.01.2016, 13:38

pf@nne

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Moin,

ist das so etwas wie eine lineare Regession, wo am Ende ein Polynom heraus kommt?

Ist denn garnicht möglich, da die Kurve ja einer reinen e-Funktion folgt, aus zwei Datenpunkten die Funktionsgleichung zu ermitteln?

Ich möchte in meinem Ofen unterschiedliche Werkstücke erhitzen, dazu muss ich den Erwärmungsverlauf des Werkstücken ermitteln. Das ermitteln der Funktion soll ein kleiner Controller übernehmen.
Daher scheiden PC-PROGRAMME aus.

Auch brauche ich ja eine Funktion die über die aufgenommenen Messpunkte hinaus die Erwärmung liefert.

Ich bin davon ausgegangen, dass man die Werte k und Tau der o.g. Funktion aus zwei Punkten ermitteln könnte.
Sitze ich da auf dem vollkommen falschen Pferd?

15.01.2016, 13:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von pf@nne
ist das so etwas wie eine lineare Regession, wo am Ende ein Polynom heraus kommt?

Ich hatte natürlich an eine Regression genau für deine Exponentialkurve gedacht - hab ich doch gesagt: Schätzung passender $\begin{align*} k,\tau \end{align*}$ für genau deinen Ansatz.

Zitat:

Original von pf@nne
Das ermitteln der Funktion soll ein kleiner Controller übernehmen.

Das kann natürlich einschränkend wirken auf die Wahl der Methoden, zumal wenn es zeit- und speicherplatzkritisch wird.

Zitat:

Original von pf@nne
Ich bin davon ausgegangen, dass man die Werte k und Tau der o.g. Funktion aus zwei Punkten ermitteln könnte.

Wenig robust hinsichlich halbwegs genauer Ermittlung von $\begin{align*} k,\tau \end{align*}$ . Wenn man viele Datenpunkte hat, dann sollte man sie auch nutzen, statt alle außer zwei wegzuwerfen.

15.01.2016, 15:02

pf@nne

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Siehst du denn eine Möglicht, bzw. hast du Lust und Zeit einem Bastler unter die Arme zu greifen?

Was ich bräuchte ist ein (für mich nachvollziehbarer) Rechenansatz.

Gruß
Pf@nne

15.01.2016, 15:46

Steffen Bühler

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Vielleicht so:

Du hast, wie beschrieben, einen generellen Funktionsverlauf von $\begin{align*} T(t)=30+k \cdot \big(1-e^{ - \frac t {\tau}} \big) \end{align*}$ .

Den leiten wir jetzt mal ab:

$\begin{align*} T'(t)=\frac k {\tau} \cdot e^{ - \frac t {\tau}} \end{align*}$

Das ist ja der Temperaturanstieg über der Zeit. Und den kannst Du auch messen! Wenn ich Deine Daten so anschaue, würde ich nicht gerade zwei Zeitpunkte nehmen, die nur eine Sekunde auseinanderliegen, aber mit fünf Sekunden sollte es recht gut passen.

Zum Beispiel ist die Steigung für die Reihe mit DC=0,5 am Anfang, also für t=0, ungefähr:

$\begin{align*} T'(0) = \frac {T(5)-T(0)}{5} = \frac {31,51-29,72}{5} = 0,358 \end{align*}$

Und laut der Ableitungsformel ist das ja $\begin{align*} T'(0)=\frac k {\tau} \end{align*}$

Und nun würde ich mir die Steigung bei z.B. 100 Sekunden anschauen:

$\begin{align*} T'(100) = \frac {T(105)-T(100)}{5} = \frac {47,05-46,62}{5} = 0,086 \end{align*}$

Das entspricht dann wiederum $\begin{align*} T'(100)=\frac k {\tau} \cdot e^{- \frac {100} {\tau}} \end{align*}$

Und nun setzen wir diese beiden Steigungen ins Verhältnis:

$\begin{align*} \frac {T'(100)}{T'(0)}= \frac {\frac k {\tau} \cdot e^{ - \frac {100} {\tau}} }{\frac k {\tau}} = e^{ - \frac {100} {\tau}} = \frac {0,086}{0,358} = 0,24 \end{align*}$ .

Nun kommst Du bestimmt alleine weiter, oder?

Viele Grüße
Steffen

15.01.2016, 16:07

HAL 9000

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Ein paar Worte noch zum MKQ-Ansatz - vielleicht kann man das geeignet kombinieren, etwa mit den Überlegungen von Steffen eben:

Gegeben seien $\begin{align*} n \end{align*}$ Datenpunkte $\begin{align*} (t_i, T_i) \end{align*}$ für $\begin{align*} i=1\ldots n \end{align*}$ , und die Funktion

$\begin{align*} T(t) = k\left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \end{align*}$

soll möglichst gut daran angepasst werden. Ziel ist dabei die Minimierung der Fehlerquadratsummenfunktion

$\begin{align*} q(k,\tau) = \sum_{i=1}^n \left(T(t_i)-T_i\right)^2 = \sum_{i=1}^n (ky_i-T_i)^2 \end{align*}$

hier geschrieben mit Abkürzung $\begin{align*} y_i := 1 - e^{-\frac{t_i}{\tau}} \end{align*}$ . Wenn wir uns erstmal nur der Minimierung bzgl. $\begin{align*} k \end{align*}$ für festes $\begin{align*} \tau \end{align*}$ widmen, so läuft das über

$\begin{align*} \frac{\dd q}{\dd k} = 2\sum_{i=1}^n (ky_i-T_i)y_i = 0 \end{align*}$ ,

was umgestellt

$\begin{align*} k = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n T_iy_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^n y_i^2} \qquad (*) \end{align*}$

bedeutet. D.h., für welches $\begin{align*} \tau \end{align*}$ man sich auch immer entscheidet, die beste Wahl für $\begin{align*} k \end{align*}$ hinsichtlich minimaler Fehlerquadratsumme ist dann gemäß (*) gegeben.

P.S.: Idealerweise würde man natürlich gleich das System $\begin{align*} \frac{\dd q}{\dd k} = 0 \end{align*}$ , $\begin{align*} \frac{\dd q}{\dd \tau} = 0 \end{align*}$ lösen wollen, bin mir aber auch nicht so ganz im klaren, mit welchem Näherungsverfahren man hier am besten zum Finden der $\begin{align*} \tau \end{align*}$ -Lösung vorgeht. Für beide Kurven im Excel-File scheint $\begin{align*} \tau\approx 88.5 \end{align*}$ ungefähr dem Optimum zu entsprechen.

16.01.2016, 18:24

pf@nne

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Zitat:

Nun kommst Du bestimmt alleine weiter, oder?

Soweit erstmal ja, den Ansatz über die Steigung hätte ich im Leben nicht gesehen, Danke!

Wenn ich deinen Ansatz mit der optisch von mir ermittelten Näherung mit
$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ = 84 und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ = 83,5 ausgehe kann ich folgende Probe machen:

Messpunkt 1
(20 s | 17,89)
(30 s | 25,35)
Messpunkt 2
(120 s | 64,04)
(130 s | 66,29)

Um $\begin{eqnarray*} e^{-t/T} \end{eqnarray*}$ in der ersten Steigung zu 0 zu bekommen werden alle Zeiten um -20s korrigiert.

Messpunkt 1[/B]
(0 s | 17,89)
(10 s | 25,35)
Messpunkt 2
(100 s | 64,04)
(110 s | 66,29)

Somit ergeben sich die Steigungen:

$\begin{eqnarray*} m0 = 0,746<br /> m1 = 0,225 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} Tau \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Tau = \frac{-t_{1}}{ln(\frac{m_{1}}{m_{0}} )} = \frac{-100}{ln(\frac{0,225}{0,746} )} = 83,43 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = \frac{T}{1 - e^{\frac{-t}{Tau}} } = \frac{64,04}{1 - e^{\frac{-120}{83,43}} } = 83,97 \end{eqnarray*}$

Für die ideale Funktion mit voegegebenen Werten stimmt die Theorie.
Bin ich soweit erstmal richtig unterwegs oder hab ich da was noch garnicht verstanden?

Wende ich diese aber bei der gemessenen Kurve an liege ich mit zwei Messpunkten, wie von HAL auch schon prophezeit, ziemlich daneben..... traurig

traurig

Daher würde ich die Berechnung jetzt um einen Schleifendurchlauf, für die Methode der kleinsten Quadrate erweitern wollen.
Davon hab ich leider auch wieder keine Ahnung und kann HALs Ausführungen schlecht bis garnicht folgen, daher dazu ein paar Fragen bzw. mein Verständnis davon:

Ich würde jetzt mehrere Messpunkte nehmen
daraus würde ich jeweils Tau und k berechnen
die Tau und k Werte werden in die eingesetzt, die geringste quadratische Abweichung von f(x) zu den Messwerten hat dann gewonnen?
ich könnte auch den Mittelwert der errechneten k und Tau nehmen um damit Schleifendurchläufe zu machen um dann die beste Funktion zu ermitteln

Es wäre nett wenn ihr mich weiterführend noch ein wenig "an die Hand" nehmen könntet....

Gruß
Pf@nne

16.01.2016, 18:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von pf@nne
und kann HALs Ausführungen schlecht bis garnicht folgen

Danke für die Blumen, aber es war eigentlich auch nur mein Anliegen, dir die Methode "Regression" zu empfehlen - NICHT, hier eine umfassende und für Laien sofort vollständig verständliche Vorlesung darüber zu halten. So anmaßend bin ich nicht - für näheres Verständnis (so du es denn willst) musst du anderswo dich dazu belesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.01.2016, 20:49

Steffen Bühler

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Was den Zweipunkteansatz betrifft, war fast zu erwarten, dass sich die Praxis nicht sehr an die graue Theorie hält. Es kommen wohl noch einige Parameter zur reinen e-Funktion dazu. Eventuell könnte man hier mehrere Punktepaare nehmen und die jeweils berechneten tau und k einfach mitteln.

Und Mythos' Ansatz ist ja auch noch da! Wenn Du von den y-Werten jeweils die Anfangstemperatur abziehst, folgen die Wertepaare der bequemeren Funktion $\begin{eqnarray*} f(t)=k\big(1-e^{- \frac t{\tau}}\big) \end{eqnarray*}$ . Und dann hat er ja schon beschrieben, wie man k und tau über zwei Punkte rausholt (Stichwort Gleichungsdivision). Auch so könntest Du Dir noch ein paar Werte für die Mittelung holen.

Natürlich wäre die Regression die beste Methode, aber da kann ich Dir leider nicht helfen.

18.01.2016, 22:42

mYthos

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Die Regression über die Minimierung der Differenzenquadrate lässt sich - bei vorhandenen vielen Messwerten - in Excel ausgezeichnet per Solver durchführen.
Dies wurde hierboards schon in mehreren Fällen gezeigt!

Für besonders "widerspenstige" Kurven gibt es ausserdem das ausgezeichnete Programm "CurveExpertPro".
Es besitzt auch eine Export- Importfunktion für Excel.
Allerdings hast du leider PC-Programme ausgeschlossen ...

mY+

19.01.2016, 09:12

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl solche Controller heute durchaus genug Speicher haben sollten, dass solch eine Solver-Routine, die man sich als Library bestimmt irgendwo umsonst holen kann, noch mit hineinpasst.

19.01.2016, 09:19

HAL 9000

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Kommt drauf an, was pf@nne so einsetzt: Wenn es (aus welchen Gründen auch immer wie Kompatibilität usw.) irgendein oller 8Bit-Controller ist, der kann da schon in die Knie gehen. Ein halbwegs moderner sollte damit keine Probleme haben, selbst wenn es ein "kleiner" ist (z.B. Cortex-M0).

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