Ableitung, Monotonieverhalten bestimmen

13.01.2016, 20:30

Phü1

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Ableitung, Monotonieverhalten bestimmen

Hey,

ich brauche eben mal Hilfe bei der Ableitung dieser Gleichung: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4x}{x²-4} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4}{x²-4} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{8x}{(x²-4)²} \end{eqnarray*}$

Mit dem Teil kann ich aber nicht wirklich viel anfangen...
Um das Monotonieverhalten bräuchte ich ja Extrempunkte und Nullstellen, oder?
Problem ist, dass ich ungern mit diesem Ding weiter rechnen möchte, vielleicht kann man das ja vereinfachen?
Achja, ich hab den Bruch mit ^-1 umgeschrieben und dann mit Produktregel abgeleitet!

13.01.2016, 21:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Phü1
Mein Ansatz: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4}{x²-4} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{8x}{(x²-4)²} \end{eqnarray*}$

Da fehlt was: $\begin{align*} f'(x) = \frac{4}{x^2-4}-\frac{8x^{{\color{red}2}}}{(x^2-4)^2} \end{align*}$

13.01.2016, 23:19

Phü1

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Alles klar. Kann ich beim 2. Bruch dann das ^2 streichen? Falls ja dann steht das da $\begin{eqnarray*} \frac{8x}{x²-4} \end{eqnarray*}$ . So wie geht's denn dann weiter Big Laugh

Big Laugh

14.01.2016, 08:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Phü1
Kann ich beim 2. Bruch dann das ^2 streichen?

Immer dann, wenn man sich hanebüchene Regeln aus den Fingern saugt, sollte man mal einen kleinen Test machen:

$\begin{eqnarray*} 4 = \frac{16}{4} = \frac{4^2}{2^2} \underbrace{=}_{\text{deine Regel}} \frac 4 2 = 2 \end{eqnarray*}$

Upps, das haut offensichtlich nicht hin. Big Laugh

Big Laugh

Was das Monotonieverhalten angeht, brauchst du nicht die Extremstellen, sondern die Bereiche, wo die 1. Ableitung positiv bzw. negativ ist.

14.01.2016, 10:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Phü1
Alles klar. Kann ich beim 2. Bruch dann das ^2 streichen?

Der zweite Satz enttarnt den ersten als reine Floskel. Finger1

Finger1

14.01.2016, 11:58

Phü1

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Ja ich weiß, das war irklich Stuss Hammer

Hammer

, einfach nicht nachgedacht. Denkt euch den zweiten Satz einfach weg. Müsste ich dann einmal mit negativen bzw. positiven Werten ausprobieren, wie der Graph verläuft?

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14.01.2016, 12:07

HAL 9000

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Bring doch einfach mal alles auf einen gemeinsamen Bruchstrich, d.h. da kommt dann

$\begin{align*} f'(x) = \frac{P(x)}{(x^2-4)^2} \end{align*}$

mit einem zu bestimmenden Polynom $\begin{align*} P(x) \end{align*}$ im Zähler raus. Und diesem Polynom kann man schon sehr viel ansehen.

14.01.2016, 12:28

Phü1

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Und wie kommt man von meiner Ableitung auf einen Bruchstrich? Ich kann da ja weder subtrahieren, noch kürzen. Wir haben das Ableiten von solchen Teilen nur mit Produktregel gelernt, die Quotientenregel, sagte der Lehrer, würde nur noch selten gebraucht, deswegen müssen wir es nicht lernen.

14.01.2016, 12:51

HAL 9000

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Das sind elementare Termumformungen, die sollte man vermittelt bekommen vor jeglicher Differential- und Integralrechnung. Ich hab dir sogar schon den Zielnenner genannt - da hab ich jetzt wirklich kein Verständnis für dieses "wie soll ich"-Geklage. unglücklich

unglücklich

$\begin{align*} f'(x) = \frac{4}{x^2-4}-\frac{8x^2}{(x^2-4)^2} = \frac{4(x^2-4)}{(x^2-4)^2}-\frac{8x^2}{(x^2-4)^2} = \frac{4(x^2-4)-8x^2}{(x^2-4)^2} = \ldots \end{align*}$

14.01.2016, 12:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von Phü1
die Quotientenregel, sagte der Lehrer, würde nur noch selten gebraucht, deswegen müssen wir es nicht lernen.

Aber genau damit hätte man nur mit einem Bruch zu tun gehabt und sich das anschließende Zusammenfassen von 2 Brüchen sparen können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.01.2016, 13:20

Phü1

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das sind elementare Termumformungen, die sollte man vermittelt bekommen vor jeglicher Differential- und Integralrechnung. Ich hab dir sogar schon den Zielnenner genannt - da hab ich jetzt wirklich kein Verständnis für dieses "wie soll ich"-Geklage. unglücklich

unglücklich

$\begin{align*} f'(x) = \frac{4}{x^2-4}-\frac{8x^2}{(x^2-4)^2} = \frac{4(x^2-4)}{(x^2-4)^2}-\frac{8x^2}{(x^2-4)^2} = \frac{4(x^2-4)-8x^2}{(x^2-4)^2} = \ldots \end{align*}$

Ist einleuchtend. Einfach auf den gleichen Nenner bringen. Irgendwie fehlt mir manchmal das logische Denken in Mathe...

$\begin{eqnarray*} \frac{-4x²-16}{(x²-4)²} \end{eqnarray*}$

14.01.2016, 13:38

HAL 9000

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Ok, diese Zusammenfassung stimmt. Der Nenner $\begin{align*} (x^2-4)^2 \end{align*}$ ist als Quadrat immer positiv. Und was ist nun mit dem Zähler, welche Werte (positive, negative) kann der annehmen? Welche Nullstellen hat er?

14.01.2016, 13:44

Phü1

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Setze ich den Zähler null, steht am Ende x² = -4, was natürlich Unsinn ist...Nach meinen Berechnungen hat es da ebenso keine Nullstellen. Im Buch kommen die im Zähler auf -16+4x², was sich mir nicht erschließt.

14.01.2016, 13:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Phü1
Im Buch kommen die im Zähler auf -16+4x²

Steht da $\begin{align*} \frac{-16+4x^2}{(x^2-4)^2} \end{align*}$ , oder $\begin{align*} -\frac{16+4x^2}{(x^2-4)^2} \end{align*}$ ? Letzteres ist richtig - bitte genau arbeiten. unglücklich

unglücklich

14.01.2016, 15:42

Phü1

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Letzteres, tut mir leid. Ich dachte das minus gilt als Vorzeichen der 16, egal ob vor dem Bruch oder direkt davor. Das minus steht quasi für eine (-1)* oder nicht? Stimmt dann nun mein Ergebnis?
Fakt ist, die Aufgabe verwirrt mich mehr als jede andere Big Laugh

Big Laugh

14.01.2016, 16:07

HAL 9000

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Das Minus gilt für den Gesamtbruch, und steht für die Multiplikation mit (-1), richtig. Will man das in den Zähler ziehen, dann bitte in den gesamten Zähler, und nicht nur dessen ersten Summanden - merke: $\begin{align*} -(a+b) = -a-b \neq -a+b \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Phü1
Stimmt dann nun mein Ergebnis?

Dass die Ableitung keine Nullstellen hat, ist richtig. Aber kannst du aus dieser Ableitung nicht mehr herauslesen, hinsichtlich Monotonie der Gesamtfunktion? Ich hatte diesbezüglich ein Frage gestellt, die ich jetzt (letztmalig) wiederhole:

Zitat:

Original von HAL 9000
Und was ist nun mit dem Zähler, welche Werte (positive, negative) kann der annehmen? Welche Nullstellen hat er?

Die letzte Frage hast du beantwortet, die erste nicht.

14.01.2016, 16:41

Phü1

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Der würde bis ins Unendliche negativ, positiv nie. Allgemein sieht man ja dass es eine gestauchte, umgedrehte Parabel darstellt.

14.01.2016, 16:53

HAL 9000

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Halten wir fest: Der Zähler ist immer negativ, der Nenner $\begin{align*} (x^2-4)^2 \end{align*}$ immer positiv. Also gilt $\begin{align*} f'(x)<0 \end{align*}$ für alle Stellen des Definitionsbereiches von $\begin{align*} f \end{align*}$ . Was bedeutet das für $\begin{align*} f \end{align*}$ selbst? Beachte dabei aber, dass $\begin{align*} f \end{align*}$ an den Nennernullstellen $\begin{align*} \pm 2 \end{align*}$ Polstellen besitzt (über die wir noch gar nicht geredet haben, Ok, ...).

14.01.2016, 17:27

Phü1

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Ich weiß es nicht, ich kann mir das einfach nie vorstellen. Aber ich behaupte mal, da f'<0 gilt, ist f streng monoton fallend, in welchem Intervall, ist mir aber schleiferhaft bzw. wie man drauf kommt, auf jeden Fall denk ich mal bis -2 und von -2 bis 2, da das ja die Pole sind Big Laugh

Big Laugh

Aber das ist jetzt nur Spekulation.

14.01.2016, 18:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Phü1
Aber ich behaupte mal, da f'<0 gilt, ist f streng monoton fallend [...] auf jeden Fall denk ich mal bis -2 und von -2 bis 2, da das ja die Pole sind

Ja, ist soweit korrekt! Und auch für x>2 (also nach dem zweiten Pol) hat man wieder streng monoton fallendes Verhalten.

14.01.2016, 18:20

Phü1

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Laut Taschenrechner sieht es aber so aus, als würde er auch streng monoton steigen.

14.01.2016, 18:21

HAL 9000

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Wo?

14.01.2016, 18:25

Phü1

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Oh, dann interpretier ich streng monoton steigend wohl anders, okay, dann sieht man von -unendlich bis -2 und von 2 bis unendlich--> streng monoton fallend. Weil der da ja noch steigt, durch y=0 durch, aber das ist wohl Schwachsinn.

14.01.2016, 18:36

Phü1

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Wenn ich jetzt die zweite Ableitung bilde, was passiert mit der 16 bei der Produktregel? schleife ich die mit, theoretisch fällt die ja weg.

16.01.2016, 11:56

Phü1

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Noch eben eine Frage. Die Mathearbeit ist nun rum und es lief ziemlich gut, habe sogar was mitnehmen können, wie hier:
$\begin{eqnarray*} \frac{-2sinx}{x} - \frac{2cosx}{x²} \end{eqnarray*}$ Habe den ersten Bruch mit x erweitert, sodass ich beide Brüche in einen Bruch schreiben kann. Wird aus -2sinx dann -2x sinx? Sinx² ja nicht, weil das ja ne Verkettung ist.

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