Beweis von Ungleichungen mit Hilfe des Mittelwertsatzes der DGR

14.01.2016, 16:58

arni19102

Beweis von Ungleichungen mit Hilfe des Mittelwertsatzes der DGR

Meine Frage:
Hallo ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Meine Ideen:
Ich weis das für den MWS der DR gilt : falls f stetig im Intervall[a,b] unf f(x) differenzierbar ist in (a,b) dann gilt es existiert ein xi element aus [a,b] f´(xi)= (f(b)-f(a))/(b-a) .....Definition des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung .

Für dieses Beispiel hier :
sei x element aus [0,x] , es gibt ein xi element von [0,x] mit (arctan(x)-arctan(0))/(x-0)=arctan´(xi)=1/(1+xi^2)
wie könnte ich das nun abschätzen um auf die zu zeigende Aussage zu kommen?

14.01.2016, 17:16

klauss

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RE: Beweis von Ungleichungen mit Hilfe des Mittelwertsatzes der DGR
Mit der bekannten Voraussetzung, dass der arctan überall stetig und differenzierbar ist, kann die Gleichung aufgestellt werden
$\begin{eqnarray*} \frac{arctan(x)-arctan(0)}{x-0}=\frac{1}{1+\xi ^{2} } \end{eqnarray*}$
Wenn Du jetzt noch ein bißchen vereinfachst und umstellst, kannst Du unter Nutzung der Bedingung für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ die Funktion arctan(x) zwischen den gegebenen Grenzen einschließen.

14.01.2016, 18:11

arni19102

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RE: Beweis von Ungleichungen mit Hilfe des Mittelwertsatzes der DGR
Okay so weit hab ichs schon ,
Meinst du in etwa so : weil $\begin{eqnarray*} arctan(0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} arctan(x)=\frac{x}{1+\xi^2 } \end{eqnarray*}$
und weil xi element von [o,x] , kann man sagen der nenner wird größer und bildet eine Untere Schranke von arctan(x).?

EDIT: Latex-Code verbessert (klarsoweit)

15.01.2016, 08:47

klarsoweit

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RE: Beweis von Ungleichungen mit Hilfe des Mittelwertsatzes der DGR

Zitat:

Original von arni19102
und weil xi element von [o,x] , kann man sagen der nenner wird größer und bildet eine Untere Schranke von arctan(x).?

Nun ja, man kann es auch einfach so formulieren:
Für $\begin{eqnarray*} \xi \in [0, x] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1 + \xi^2 \leq 1+x^2 \end{eqnarray*}$ , woraus dann $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+\xi^2} \geq \frac{x}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ folgt. smile

15.01.2016, 10:50

klauss

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RE: Beweis von Ungleichungen mit Hilfe des Mittelwertsatzes der DGR
Tatsächlich ist ja sogar $\begin{eqnarray*} \xi \in ]0 ; x[ \end{eqnarray*}$ , so dass Du die strikte Doppelungleichung zeigen kannst, wenn $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ sich jeweils den beiden Intervallgrenzen beliebig annähert.

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