Bild eines Kreises berechnen

14.01.2016, 18:16

Croci

Bild eines Kreises berechnen

Ich habe folgende Aufgabe:

Berechnen Sie das Bild des Kreises
K(x, y)= (x-3)^2 + y^2 - 1 = 0
unter der Abbildung f(z) =1/z .

In welchen Punkt geht der Mittelpunkt des Kreises K über?

kann mir jemand sagen wie ich die aufgabe rechnen muss? ich habe keine ahnung was ich machen muss.

vielen dank schonmal!!

15.01.2016, 10:27

Huggy

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RE: Bild eines Kreises berechnen
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sind offenbar als Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zu interpretieren. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f(z)=1/z \end{eqnarray*}$ führt einen nicht durch den Nullpunkt gehenden Kreis wieder in einen Kreis über. Wenn das aus der Vorlesung bekannt ist, sollte es dir keine Schwierigkeiten bereiten, die Daten des Bildkreises zu ermitteln. Wenn du das nicht als bekannt benutzen darfst, musst du es entweder speziell für den gegebenen Kreis oder allgemein zeigen, was etwas Rechnerei erfordert. Beachte, dass das Bild des Mittelpunkts des gegebenen Kreises nicht der Mittelpunkt des Bildkreises ist.

17.01.2016, 13:21

Croci

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was würdest du als real und imaginärteil hernehmen?

18.01.2016, 10:27

Huggy

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Das sagte ich doch schon:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sind offenbar als Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zu interpretieren.

18.01.2016, 12:05

HAL 9000

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In der Hoffnung, dass es vielleicht bei der geometrischen Vorstellung hilft, merke ich noch folgendes an:

Die Abbildung $\begin{align*} z\mapsto \frac{1}{z} \end{align*}$ in der Gaußschen Zahlenebene $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ entspricht einer Inversion am Einheitskreis $\begin{align*} |z|=1 \end{align*}$ , gefolgt von einer Spiegelung an der reellen Achse.

Möglich ist auch die Interpretation in der umgekehrten Reihenfolge, d.h. erst Spiegelung an der reellen Achse, dann die Kreisinversion - das Ergebnis ist identisch zu dem im zuerst beschriebenen Vorgehen.

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