Dimensionsanalyse und asymptotische Entwicklung

14.01.2016, 18:16	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimensionsanalyse und asymptotische Entwicklung Folgende Aufgabe bereitet mir Probleme: In der Gleichung $\begin{eqnarray} x^2+ax+b=0 \end{eqnarray}$ habe die Unbekannte $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ die Dimension einer Länge. Welche Dimensionen haben die Parameter $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ? Man skaliere die Gleichung durch Wahl einer intrinsischen Referenzlänge für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und bestimme die ersten 3 Terme in asymptotischen Entwicklungen für beide Lösungen unter der Annahme, dass der Parameter $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ relativ (im Vergleich wozu?) klein ist. --- Ich habe mir überlegt, dass $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ die Dimension $\begin{eqnarray} m^2 \end{eqnarray}$ hat und da hier Additionen in der Gleichungen vorkommen, muss jeder Summand dieselbe Dimension haben. Damit folgt für die Dimension von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ Meter und für $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ Meter-Quadrat. Als intrinsische Referenzlänge ist $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ passend und eine Skalierung der Gleichung erhält man, in dem man die ganze Gleichung durch $\begin{eqnarray} a^2 \end{eqnarray}$ dividiert. Für die asympotoische Entwicklung habe ich den in VO-benutzten Ansatz $\begin{eqnarray} x=x_0+ax_1+a^2 x_2 \end{eqnarray}$ verwedet und in die Gleichung eingesetzt. Durch Koeffizientenvergleich habe ich die Werte für $\begin{eqnarray} x_0, x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ ermittelt. Das Problem ist, dass $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ dazu negativ sein müsste (ist aber sinnfrei, weil $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ die Einheit Meter-Quadrat hat), da es sonst über die komplexen Zahlen geht (?), oder wenn man $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ setzt, dann sind alle drei Koeffizienten null. Bin für Hilfe dankbar!
17.01.2016, 12:30	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
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