Nullstellen Winkelfunktionen berechnen

14.01.2016, 19:57

0815

Nullstellen Winkelfunktionen berechnen

Hallo alle zusammen! Wink

(Ich bitte im Vorhinein um Entschuldigung, falls ich hier im falschen Board bin. Die meisten Beispiele dieser Art scheinen unter Schulmathematik zu fallen, allerdings hab ich dort keine mit quadriertem Sinus gefunden und ich habe diese Art von Beispielen auch erst seit der Uni, daher hab ich mal hier geschrieben...)

Ich hänge bei meiner Kurvendiskussion leider gerade schon beim ersten Punkt - den Nullstellen der Funktion.
Gegeben ist: $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin ^2 (x) -\sin (x)-1 \end{eqnarray*}$
Die Funktion ist nur auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0; 2\pi] \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Leider stehe ich völlig auf der Leitung, wie ich hier rechnen/umformen soll. unglücklich

Wenn ich die Funktion null setze, kann ich den Einser auf die andere Seite bringen und herausheben, aber hilft mir das was? $\begin{eqnarray*} \sin (x)\cdot(1-\sin (x))=1 \end{eqnarray*}$
Die einzige andere Umformung, die mir zur Angabe einfällt, ist, sin(x) auf die andere Seite zu bringen und dann: $\begin{eqnarray*} (\sin(x)-1)\cdot(\sin(x)+1)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ Leider komme ich auch in diesem Fall nicht darauf, ob und wie ich hier weiterrechnen kann.
Der Sinus ist ja im Prinzip bei $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ 1 und bei 0 und Pi 0. Aber wie wende ich das hier an?

Ähnliche Probleme habe ich bei den Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2\sin(x)\cos(x)-\cos(x)=\sin(2x)-\cos(x) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f''(x)=-2\sin ^2(x)+2\cos ^2(x)+\sin(x)=2\cos(2x)+\sin(x) \end{eqnarray*}$
Stimmen sollten die Ableitungen (mit Wolfram Alpha überprüft), aber wieder habe ich das gleiche Brett vor dem Kopf: Welche Umformung soll ich verwenden und wie? Muss ich hier den Cosinus bzw. den Sinus so umformen, dass ich nur noch eine der beiden Winkelfunktionen stehen habe oder kann ich es auch so rechnen?

Ich wäre für Anstöße in die richtige Richtung sehr dankbar. Wahrscheinlich sehe ich einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht, so schwierig dürfte das Beispiel eigentlich nicht sein... verwirrt

14.01.2016, 20:04

gast1402

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RE: Nullstellen Winkelfunktionen berechnen
Substituiere: sin (x) = z

Ferner: cos^2(x) = 1- sin^2(x)

bei f'(x) kannst du cos(x) ausklammern. Dann Satz vom Nullprodukt anwenden.

14.01.2016, 20:55

0815

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Ah, vielen Dank! Substituieren ist mir noch überhaupt nicht eingefallen.
Also: $\begin{eqnarray*} \sin(x)=z \end{eqnarray*}$ , dann habe ich $\begin{eqnarray*} z^2-z-1=0 \end{eqnarray*}$ , davon rechne ich die Lösungen aus und beim Rücksubstituieren den Arcus Sinus und komme auf x. Stimmt das so?

Ups, auf die Beziehung vergesse ich immer... Ups

D.h. ich könnte auch auf das umformen?: $\begin{eqnarray*} -\sin(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$
Oder hast du das für f'' gemeint?

Danke auch für f'! Bei f hab ichs versucht bevor ich draufgekommen bin, dass ich ja 1 auf der anderen Seite habe, und dann bei der Ableitung prompt drauf vergessen... Hammer

15.01.2016, 08:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von 0815
Also: $\begin{eqnarray*} \sin(x)=z \end{eqnarray*}$ , dann habe ich $\begin{eqnarray*} z^2-z-1=0 \end{eqnarray*}$ , davon rechne ich die Lösungen aus und beim Rücksubstituieren den Arcus Sinus und komme auf x. Stimmt das so?

Im Prinzip ja. Beachte aber, daß du alle Lösungen im Intervall $\begin{eqnarray*} [0; 2 \pi] \end{eqnarray*}$ findest.

Zitat:

Original von 0815
D.h. ich könnte auch auf das umformen?: $\begin{eqnarray*} -\sin(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$

Wie bist du jetzt darauf gekommen?

15.01.2016, 18:57

0815

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Achja, stimmt der Arcus Sinus geht ja "nur" von $\begin{eqnarray*} [-1;1]\rightarrow [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \end{eqnarray*}$ , wenn ich mich da jetzt nicht irre. Das heißt, ich nehme hier nur das z, das zwischen -1 und 1 liegt und zähle zu der Lösung nochmal Pi dazu? Oder mach ich hier schon wieder einen Blödsinn? verwirrt

Ups, da hab ich mich vertippt und es nicht bemerkt. geschockt

Ich habe bei f -1 und sin²(x) auf die andere Seite gebracht und dann So sollte es jetzt stimmen, oder?: $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\cos^2(x) \end{eqnarray*}$

Kann ich bei f'' die Nullstellen wieder so berechnen wie bei f, wenn ich mir das mit $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ so umforme: $\begin{eqnarray*} f''(x)=1-2\sin^2(x)-\sin(x) \end{eqnarray*}$ ? Also wieder mit Substituieren etc.?

Und vielen Dank für die Hilfe, der Großteil der Bretter vor meinem Kopf hat sich dank euch aufgelöst! smile

18.01.2016, 09:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von 0815
Das heißt, ich nehme hier nur das z, das zwischen -1 und 1 liegt und zähle zu der Lösung nochmal Pi dazu? Oder mach ich hier schon wieder einen Blödsinn? verwirrt

Nun ja, irgendwie schon. Weitere Lösungen sind $\begin{eqnarray*} \pi - arcsin(z) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 2\pi + arcsin(z) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von 0815
Kann ich bei f'' die Nullstellen wieder so berechnen wie bei f, wenn ich mir das mit $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ so umforme: $\begin{eqnarray*} f''(x)=1-2\sin^2(x)-\sin(x) \end{eqnarray*}$ ? Also wieder mit Substituieren etc.?

Im Prinzip ja, aber ich komme nicht auf $\begin{eqnarray*} f''(x)=1-2\sin^2(x)-\sin(x) \end{eqnarray*}$ . verwirrt

18.01.2016, 15:35

0815

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Tut mir echt leid, dass ich die ganze Zeit so auf der Leitung stehe. Ich komm mir schon selbst recht blöd vor. Forum Kloppe

D.h., die "normale" Lösung, diese Lösung plus Pi, Pi minus der 2. Lösung und die erste Lösung plus 2*Pi sind dann alle? (Mit der 2. Lösung hätte ich jetzt die mit dem negativen Vorzeichen bei der Wurzel gemeint.)
Und für die Lösungen im Intervall schaue ich dann einfach, welche davon drin liegen, oder? (Wahrscheinlich eine überflüssige Frage, aber langsam traue ich keinem meiner Gedankengänge mehr so ganz.)

Entschuldigung, da hab ich mich schon wieder verrechnet. (Multiplikation mit 2 beim Cosinus-Quadrat übersehen...) Hammer

$\begin{eqnarray*} -4\sin^2(x)+sin(x)+2 \end{eqnarray*}$ sollte es wohl sein.
Und vielen Dank (auch für die mir entgegengebrachte Geduld)! Ich hab leider trotzdem schon wieder eine neue Frage zu diesen Nullstellen. Ich habe schon mal (mit der neuen und hoffentlich jetzt korrekten Umformung) versucht die Nullstellen auszurechnen und bekomme dann $\begin{eqnarray*} \arcsin(\frac{1}{8}\pm\sqrt{\frac{33}{64}}) \end{eqnarray*}$ (hoffe, ich hab mich nicht schon wieder vertippt/verrechnet, aber der konkrete Zahlenwert ist da gerade auch nicht Ursache meines Rätselns - und ja, die Lösungen mit plus Pi etc. haben da auch noch keinen Eingang gefunden...). Zur Kontrolle habe ich Wolfram Alpha für diese Funktion die Nullstellen berechnen lassen, wo mir allerdings Arcus Tangens-Ausdrücke als Lösungen ausgegeben werden. Ist das aufgrund einer internen Umrechnung bei Wolfram Alpha, oder bin ich schon wieder wo gedanklich falsch abgebogen?

18.01.2016, 15:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von 0815
wo mir allerdings Arcus Tangens-Ausdrücke als Lösungen ausgegeben werden. Ist das aufgrund einer internen Umrechnung bei Wolfram Alpha

Es ist zumindest eine durchaus denkbare Variante. Genaueres sieht man natürlich erst im Vergleich beider Werte.

18.01.2016, 15:56

0815

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Okay, ich hab nämlich keine Ahnung wie man sonst auf die Arcus Tangens-Ausdrücke kommt. Vielleicht hab ich auch in Wolfram Alpha was falsch eingetippt, ich verwende es nicht so oft...

Wenn ansonsten der Rechengang mit Arcus Sinus grundsätzlich richtig ist, bin ich schon sehr glücklich. smile

Und danke für die Antwort!

18.01.2016, 16:04

HAL 9000

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Naja die beiden Werte $\begin{align*} \arcsin\left( \frac{1\pm \sqrt{33}}{8}\right) \end{align*}$ liefern natürlich nur die Lösungen der beiden Gleichungen $\begin{align*} \sin(x) = \frac{1\pm \sqrt{33}}{8} \end{align*}$ im Sinus/Arcussinus-Grundintervall $\begin{align*} \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{align*}$ .

Du suchst aber die Lösungen im Intervall $\begin{align*} [0,2\pi] \end{align*}$ . Also ähnliches Problem wie oben, und ähnlich auch anzugehen.

Mal zur optischen Unterstützung:

Ich zähle: 2 Nullstellen, 4 lokale Extremstellen und auch 4 Wendepunkte im Intervall $\begin{align*} [0,2\pi] \end{align*}$ .

18.01.2016, 18:10

0815

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Ok, das heißt, so wie vorhin wieder mit jeweils plus Pi und einmal plus 2*Pi und dann schauen, welche im Intervall liegen und gegebenenfalls "nachbessern", falls manche meiner Lösungen noch außerhalb sind, sollte stimmen?

Ja, das sollte es dann wohl sein. Wenn ich mich nicht (schon wieder) irre, kommt bei der Substitution bei f auch eine Lösung der quadratischen Gleichung <-1 (oder >1, ich weiß es gerade nicht auswendig) heraus, die kann dann ja nicht in den Arcus Sinus eingesetzt werden und es sollten dann noch 2 Lösungen für die Nullstellen übrig sein.

Nochmals vielen Dank für die Hilfe und Geduld! smile

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