Polynome faktorisieren

15.01.2016, 07:32	Alex13	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome faktorisieren Liebe Mathe-Community, ich arbeite an einer Aufgabe die ich nicht so recht verstehe und würde mich über etwas Hilfe freuen. Sei $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2[x]/(x^2 + x + 1)\mathbb{F}_2[x] \end{eqnarray}$ . a) Faktorisiere $\begin{eqnarray} x^8 - x \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ b) Faktorisiere $\begin{eqnarray} x^8 - x \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_4 \end{eqnarray}$ Mit Aufgabe a komme ich ganz gut zurecht. Denn $\begin{eqnarray} x^8 - x \end{eqnarray}$ hat Nullstellen bei x=0 und x=1. Und somit sind die Polynome (x-0) und (x-1) abspaltbar. Polynomdivision $\begin{eqnarray} x^8-8 : x^2+x \end{eqnarray}$ ergibt: $\begin{eqnarray} x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \end{eqnarray}$ . Damit bleibt nur noch $\begin{eqnarray} x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^3+x+1)(x^3+x^2+1) \end{eqnarray}$ . Bei Aufgabe b verstehe ich aber nicht so richtig wie ich vorgehen muss. Denn folgendes ist mir nicht klar: a) Über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x^8 - x \equiv x^8 + x \end{eqnarray}$ . Wie verhält sich das wenn ich das über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_4 \end{eqnarray}$ betrachte? b) Um Nullstellen in $\begin{eqnarray} x^8-x \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ zu finden setze ich die Werte aus dem Körper in die Gleichung ein und bekomme dann bei Aufgabe a zwei Nullstellen heraus. Wenn ich bei Aufgabe b nach Nullstellen suche würde ich jetzt alle Elemente aus $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_4 \end{eqnarray}$ in die Gleichung einsetzen (Also: $\begin{eqnarray} \{0, 1, x, x+1\} \end{eqnarray}$ und dann ggf. durch das irreduzible Polynom teilen. Ist das korrekt? Viele Grüße Alex
15.01.2016, 08:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) $\begin{eqnarray} \mathbb F_2\le\mathbb F_4 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} x^8-x=x^8+x \end{eqnarray}$ auch in $\begin{eqnarray} \mathbb F_4[X] \end{eqnarray}$ . b) Tipp: $\begin{eqnarray} x^2+x+1=0 \end{eqnarray}$ nach dieser Konstruktion von $\begin{eqnarray} \mathbb F_4 \end{eqnarray}$ .
15.01.2016, 08:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
(zu spät)

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