Strikt monoton steigend minus strikt monoton fallend

15.01.2016, 14:21

Alessandro5991

Strikt monoton steigend minus strikt monoton fallend

Meine Frage:
Warum ergibt das eine monoton wachsende Funktion?

Meine Ideen:
Kann man f und g nicht frei wählen?

15.01.2016, 14:37

klarsoweit

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RE: Strikt monoton steigend minus strikt monoton fallend

Zitat:

Original von Alessandro5991
Warum ergibt das eine monoton wachsende Funktion?

Nun ja, wenn du eine monoton fallende Funktion mit -1 multiplizierst, erhältst du eine monoton steigende Funktion. Und dann läuft "strikt monoton steigend minus strikt monoton fallend" auf die Addition von zwei monoton steigenden Funktionen hinaus.

Zitat:

Original von Alessandro5991
Kann man f und g nicht frei wählen?

Ähh, ich verstehe diese Frage nicht. verwirrt

15.01.2016, 14:44

Alessandro5991

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Ich meine mit f eine strikt monoton steigende und mit g eine strikt monoton fallende Funktion. Ich verstehe immer nicht, warum das auf das hinausläuft, hast du mir einen Beweis?

Vielen Dank

15.01.2016, 14:49

klarsoweit

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Zu zeigen ist also, daß dann f - g eine monoton wachsende Funktion ist. Eine Beweisskizze hatte ich schon gepostet. Es kommt natürlich auch darauf an, auf welche Sätze über monotone Funktionen du zurückgreifen kannst.

15.01.2016, 14:50

MeMeansMe

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Ein Vorschlag (klarsoweit darf es gerne korrigieren, sollte es falsch sein): sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine streng monoton steigende Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(x+1)>f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine streng monoton fallende mit $\begin{eqnarray*} g(x+1)<g(x) \end{eqnarray*}$ . Dann soll für die Differenz gelten:

$\begin{eqnarray*} f(x+1)-g(x+1)>f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$

Durch Umformen erhältst du $\begin{eqnarray*} f(x+1)-f(x) > g(x+1)-g(x) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f(x+1)-f(x)>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x+1)-g(x)<0 \end{eqnarray*}$ , gilt die Aussage für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Ich hoffe, das geht so.

Was klarsoweit meinte, ist, dass eine streng monoton fallende Funktion - mit -1 multipliziert (weil subtrahieren ja mit dem additiven Inversen addieren ist) - streng monoton steigend wird. Du kehrst immerhin die "Richtung" der Funktion um, heuristisch gesprochen.

15.01.2016, 14:55

Alessandro5991

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Vielen Dank, jetzt habe ich ea begriffen, trotzdem frage ich mich dann, wenn man f+g rechnen würde, dann
wäre das immer absteigend, oder?

15.01.2016, 15:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von MeMeansMe
Durch Umformen erhältst du $\begin{eqnarray*} f(x+1)-f(x) > g(x+1)-g(x) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f(x+1)-f(x)>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x+1)-g(x)<0 \end{eqnarray*}$ , gilt die Aussage für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Ich hoffe, das geht so.

Salopp gesagt: der Beweis ist in dieser Form Unfug. Du mußt für die Funktion h mit h(x) := f(x) - g(x) zeigen, daß sie strikt monoton steigend ist, daß also die Aussage gilt:

$\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \Rightarrow h(x_1) < h(x_2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Alessandro5991
Vielen Dank, jetzt habe ich ea begriffen, trotzdem frage ich mich dann, wenn man f+g rechnen würde, dann
wäre das immer absteigend, oder?

In diesem Fall kann man keine Aussage machen. smile

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