Eine oder zwei Asymptoten ? oder ...

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15.01.2016, 14:42	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine oder zwei Asymptoten ? oder ... Folgende Funktion sei gegeben: $\begin{align} f: \quad u\mapsto \begin{cases} \frac {2u}{1+\exp(\frac 1u)} & u \in \mathbb R^{} \\ 0 &\, u=0 \end{cases} \end{align*}$ und die vermutete Asymptode y=x Bei näherem Hinsehen ist die Funktion etwas exotisch und y=x ist anscheinend keine Asypmtote. gibt es nun eine oder gar 2 Asymptoden ? ----------------------------------------------- zumindest sollte die Steigung der linearen Asymptote = 1 sein.
15.01.2016, 15:03	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine oder zwei Asymptoten ? oder ... Unter der Lupe betrachtet, ergibt sich die Vermutung, dass sich die Funktion im positiven Bereich der Geraden y = u - 0.5 nähert. Wenn ich mich bei meiner Schnellrechnung nicht vertan habe, ist tatsächlich $\begin{eqnarray} \lim_{u \to \infty } \| f(u)-\left(u-\frac{1}{2}\right) \| =0 \end{eqnarray}$ Ist das hinreichend für eine Asymptote?
15.01.2016, 15:50	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
bin nicht überzeugt. Für mich ist $\begin{align} \lim_{ u \to \infty } \frac {2u}{1+\exp(\frac 1u)}-u+\frac 12 =u-u+ \frac 12= \frac 12 \neq 0 \end{align}$ woraus folgen würde, dass y=x doch Asymptote ist --------------------------------------------------------------------------- edit: schönes Beispiel für die Fallstricke beim Limes !
15.01.2016, 16:04	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenbar vorausgesetzt, $\begin{eqnarray} \lim_{u \to \infty } \frac{2u}{1+e^{\frac{1}{u} } }=u \end{eqnarray}$ wobei sicher nicht erlaubt ist, die 2 mit dem isolierten Grenzwert des Nenners zu kürzen und das u im Zähler einstweilen an die Kette zu legen. Dann schon eher $\begin{eqnarray} \lim_{u \to \infty } \frac{2u}{1+e^{\frac{1}{u} } }= \infty \end{eqnarray}$ so dass im Betrag wieder $\begin{eqnarray} "\infty - \infty" \end{eqnarray}$ steht und uns die ausführliche Rechnung doch nicht erspart bleibt.
15.01.2016, 16:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann das Ergebnis von Klaus bestätigen, es ist auch das was bei der schnellen Approximation $\begin{eqnarray} e^{1/u} \approx 1 + \frac 1 u \end{eqnarray}$ herauskommt.
15.01.2016, 16:19	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
habe es inzwischen auch gemerkt, kam mir doch irgendwie komisch vor.
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15.01.2016, 16:33	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
War anscheinend ernst gemeint. Ich hatte es schon für eine Fangfrage gehalten. (isn't the whole life a test of the audience and the people?)
15.01.2016, 16:46	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, war ernst gemeint. Da hab' ich mich ziemlich blamiert Aber: man soll eben so etwas nicht in den Rechner tippen, sondern ordentlich mit Papier und Bleistift ... Welche Steigung hat denn die linksseitige Tangente im Ursprung ? muss man das als Grenzwert der Sekantensteigung rechnen oder genügt der Grenzwert der Ableitungsfunktion ?
15.01.2016, 17:09	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Hochschulmäßig ist sicher die Sekantensteigung obligatorisch. Wie der Graph schon erkennen läßt, liegt im Ursprung eine Knickstelle vor mit nicht übereinstimmenden Grenzwerten der Sekantensteigungsfunktion. Links 2, rechts 0. Eine Tangente wird dort nicht anliegen.
15.01.2016, 17:47	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
o.k. der Grenzwert der Sekantensteigung linksseitig ist 2. Den ich aber aus verständlichen Gründen jetzt nicht vorrechnen will. Es gibt eine Asymptote y(x)=x-1/2 besten Dank
15.01.2016, 17:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Nachtrag zur Asymptotenberechnung: Sowas kann man ganz gut mit dem Landau-Symbol-Kalkül bestimmen. Für $\begin{align} u\to\infty \end{align}$ ist basierend auf $\begin{align} \exp(x) = 1 + x + O(x^2) \end{align}$ $\begin{align} \frac{2u}{1+\exp\left(\frac{1}{u}\right)} = \frac{2u}{1+1+\frac{1}{u}+O\left(\frac{1}{u^2}\right)} = \frac{u}{1+\frac{1}{2u}+O\left(\frac{1}{u^2}\right)} = u\left( 1-\frac{1}{2u}+O\left(\frac{1}{u^2}\right) \right) = u-\frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{u}\right) \end{align}$ Die um einen Grad "grobere" exp-Approximation $\begin{align} \exp(x) = 1 + O(x) \end{align}$ hätte im Vergleich dazu nur folgendes erbracht: $\begin{align} \frac{2u}{1+\exp\left(\frac{1}{u}\right)} = \frac{2u}{1+1+O\left(\frac{1}{u}\right)} = \frac{u}{1+O\left(\frac{1}{u}\right)} = u\left( 1+O\left(\frac{1}{u}\right) \right) = u + O(1) \end{align}$ , und damit Ungewissheit über einen evtl. Konstantenversatz der Asymptote.
15.01.2016, 17:59	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
gefällt mir ausnehmend gut, da hier die Konstante -1/2 aktiv bestimmt wird und nicht nur eine Vermutung bestätigt wird.

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