Wie kann man die Entwicklung einer Determinante als Skalarprodukt darstellen?

15.01.2016, 16:36

Enomine

Wie kann man die Entwicklung einer Determinante als Skalarprodukt darstellen?

Meine Frage:
Hi,
die Aufgabe in Lineare Algebra lautet:
b1 = Spaltenvektor (1,0,1) b2 = Spaltenvektor (1, -2, 1) b3 = Spaltenvektor (2, 0, 1)
b) Die Entwicklung der Determinante nach der 2. Spalte kann dargestellt werden als Skalarprodukt: det(b1,b2,b3) = <b2,d2>
Berechnen Sie den Vektor d2.

Meine Ideen:
=> Ich finde viele Seiten, die mir die Entwicklung einer Determinante nach der i-ten Spalte oder j-ten Zeile erklären.
=> Ich finde viele Seiten, die mir Erklären was ein Skalarprodukt ist und wie man es berechnet.
=> Ich finde keine Seite, die mir erklärt wie ich die Entwicklung einer Determinante nach der 2. Spalte als Skalarprodukt darstellen kann und wie ich den Vektor berechnen kann.
Könnt ihr mir Tipps, Schlagwörter nach denen ich Suchen kann oder Webseiten nennen, die mir weiter helfen?

Ich kenne die Determinante also das Volumen des Körpers.
det(b1,b2,b3) = 2
ergo
2 = <b2,d2>
ergo (nach Formel des Skalarprodukt)
2= 1x - 2y + 1z
wenn ich davon ausgehe, dass auch
2 = <b1,d2>
2 = x + z
und
2 = <b3,d2>
2 = 2x + z
gelten, dann habe ich ein Gleichungssystem welches ich Lösen kann. Und dann erhalte ich für d2 den Spaltenvektor (0,0,2)
Darf ich davon ausgehen, dass auch 2=<b1,d2> und 2=<b3,d2> gelten?
Wenn ich davon ausgehen darf, warum darf ich davon ausgehen?

EDIT: Der Thread wurde vom Moderator nach Schulmathematik, Geometrie verschoben. Die Aufgabe stammt aus der Klausur Lineare Algebra an einer Hochschule.

Danke - Enomine

15.01.2016, 16:40

IfindU

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RE: Wie kann man die Entwicklung einer Determinante als Skalarprodukt darstellen?
Das ist eine direkte Rechnung. Entwickle $\begin{eqnarray*} \det ( b_1 \quad b_2 \quad b_3) \end{eqnarray*}$ einfach nach der zweiten Spalte. Du bekommst $\begin{eqnarray*} \det ( b_1 \quad b_2 \quad b_3) = b_2^{(1)} \cdot (...) + b_2^{(2)} \cdot (...) + b_2^{(3)} \cdot (...) = \langle b_2, [ (...), (...), (...) ] \rangle = \langle b_2, d \rangle \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ durch die entsprechenden Terme ersetzt wird.

16.01.2016, 17:50

Enomine

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RE: Wie kann man die Entwicklung einer Determinante als Skalarprodukt darstellen?

Zitat:

Original von IfindU
Das ist eine direkte Rechnung. Entwickle $\begin{eqnarray*} \det ( b_1 \quad b_2 \quad b_3) \end{eqnarray*}$ einfach nach der zweiten Spalte. Du bekommst $\begin{eqnarray*} \det ( b_1 \quad b_2 \quad b_3) = b_2^{(1)} \cdot (...) + b_2^{(2)} \cdot (...) + b_2^{(3)} \cdot (...) = \langle b_2, [ (...), (...), (...) ] \rangle = \langle b_2, d \rangle \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ durch die entsprechenden Terme ersetzt wird.

Also:

$\begin{eqnarray*} b_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, b_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, b_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det (b_1, b_2, b_3) = det ~\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = ((-2) + 0 + 0) - ((-4) + 0 + 0) = 2 \end{eqnarray*}$

Entwicklung nach 2. Spalte:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot (-1)^{1+2} \cdot det ~\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \cdot (-1)^{2+2} \cdot det ~\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{3+2} \cdot det ~\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> = 0 + (-2) \cdot (1 - 2) + 0<br /> \end{eqnarray*}$

Laut deiner Aussage wäre also
$\begin{eqnarray*} d_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Laut Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} det (b_1, b_2, b_3) = <b_2, d_2> \end{eqnarray*}$

Dann ergibt das Skalarprodukt also 2:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 \cdot 0 + (-2) \cdot -1 + 1 \cdot 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2 \end{eqnarray*}$

Danke - Enomine

16.01.2016, 18:29

IfindU

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Ich hätte es mit den Variablen durchgerechnet und ganz am Ende erst eingesetzt. So wäre leichter zu sehen woher welche Terme kommen, aber offenbar hast du dich nicht davon verwirren lassen, denn das Ergebnis stimmt ja.

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