Bilder, Linearkombination und Matrix

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Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »
Bilder, Linearkombination und Matrix
Meine Frage:
Sei die lineare Abbildung definiert durch

.

Sei eine Basis von . Wir bestimmen die Matrix ,
die die Abbildung in der Basis darstellt.

(1) Berechnen Sie die Bilder der Vektoren in .

(2)Stellen Sie die erhaltenen Bilder als Linearkombination der Basisvektoren in dar. Finden Sie also Zahlen , so dass gilt.

(3)Die Matrix mit Einträgen ist die gesuchte Matrix: Verifizieren Sie, dass für ein allgemeines
- in der Basis repräsentiert durch das Tupel - gilt, dass .

Meine Ideen:
Es hapert schon beim Anfang.
Wie bestimmt man die Matrix einer Abbildung in einer bestimmten Basis?
Normalerweise kann man die Matrix ja einfach bestimmen, also von wäre dies
aber wie gehe ich das mit einer von der Standardbasis abweichenden Basis an?
Bei (1) bis (3) weiß ich auch noch nicht so ganz, wie ich genau rangehen soll. Was genau ist z.B. ? Ein paar Tipps wären erstmal sehr nett. Danke!
MeMeansMe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilder, Linearkombination und Matrix
Hey,

die drei Teilaufgaben führen dich zu der darstellenden Matrix . Du multiplizierst die Basisvektoren mit der Matrix und stellst die resultierenden Vektoren als Linearkombination der Elemente aus dar. Die Matrix, die du nennst, erhältst du aus der Multiplikation der Standardbasisvektoren mit der Matrix und durch die Darstellung der Ergebnisse als Linearkombination der Standardbasisvektoren Augenzwinkern Nun musst du das nur mit einer anderen Basis machen.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, danke für die rasche Antwort. smile
Jetzt sehe ich schon klarer.

In (1) muss ich nun die einzelnen Basisvektoren, also

mit der Matrix multiplizieren. Dadurch erhalte ich dann die Bilder der Basisvektoren.
In (2) soll ich dann die drei erhaltenen Bilder der drei Basisvektoren durch die Basisvektoren selbst mittels Linearkombination darstellen, also finden sodass



Was genau ich bei (3) zu tun habe, weiß ich noch nicht so richtig.
MeMeansMe Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne smile

Zu (1): Du musst die Basisvektoren nicht mit der 'Matrix' multiplizieren. Du musst die lineare Abbildung auf sie anwenden, also für .

Die Koeffizienten, die du in (2) bestimmt hast, werden dann deine Spalteneinträge der darstellenden Matrix.

Bei (3) musst du zeigen, dass die Abbildung und die darstellende Matrix äquivalent sind. Am besten stellst du erstmal die Matrix auf und schaust dann, was passiert smile
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilder, Linearkombination und Matrix
Zitat:
Original von MeMeansMe
Du multiplizierst die Basisvektoren mit der Matrix ...


Zitat:
Original von MeMeansMe
Du musst die Basisvektoren nicht mit der 'Matrix' multiplizieren.


Argh, ich bin verwirrt. Big Laugh Also muss ich z.B. bei so anwenden, dass
?
MeMeansMe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilder, Linearkombination und Matrix
Entschuldige, ich hab mich bei meiner ersten Antwort unsauber ausgedrückt. Natürlich wendest du die Abbildung auf die Vektoren an Augenzwinkern

Den ersten Basisvektor hast du richtig eingesetzt. Jetzt das Ergebnis nur noch als Linearkombination der drei Vektoren in darstellen. Und das natürlich für alle drei Vektoren Augenzwinkern
 
 
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilder, Linearkombination und Matrix
Ah, alles klar, danke. smile Gut, nun habe ich bei (2) die Zahlen ausgerechnet, die da wären:

woraus ich schließe, dass die gesuchte Matrix

ist.
Nun bin ich mir bei der Verifizierung bei (3) noch nicht ganz sicher. Ich soll zeigen,
Zitat:
Original von MeMeansMe
dass die Abbildung und die darstellende Matrix äquivalent sind.

nur weiß ich nichts so recht mit dem Tupel anzufangen. verwirrt
MeMeansMe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilder, Linearkombination und Matrix
Hey,

bei den Koeffizienten vertrau ich dir einfach mal Augenzwinkern Du musst die allerdings spaltenweise eintragen, du hast sie zeilenweise eingetragen. Es geht auch zeilenweise, nur dann musst du jeden Vektor, auf den du die erstellte Matrix anwenden willst, von links mit dieser multiplizieren. Du bist es wahrscheinlich gewohnt, dass die Vektoren von rechts an die Matrix multipliziert werden. Von daher würde ich die Koeffizienten spaltenweise eintragen.

Der Vektor ist einfach die transformierte Darstellung des Vektors . Du kannst lineare Abbildungen als Matrizen darstellen (mit verschiedenen Basen) und dasselbe kannst du auch mit Vektoren tun. Ich denke also, dass gilt

Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm ...
ok, also die gesuchte Matrix ist und was wiederum gleich sein soll? verwirrt Hammer
MeMeansMe Auf diesen Beitrag antworten »

Also, du siehst ja, dass es keinen Sinn macht, wenn man einfach beide Vektoren gleichsetzt (weil sie halt nicht gleich sind). Du betrachtest den Vektor und die Matrix zuzusagen durch die 'B-Brille', d.h. auf Basis von . Das musst du nun mit dem Vektor auch tun. Denn eine Gleichheit ergibt nur Sinn, wenn du beide Seiten durch dieselbe Brille betrachtest. Du musst also die Abbildung nun auf Basis von darstellen. Dann müsste hinterher in der Tat



gelten.

Im Prinzip tust du dann nichts Anderes als die Matrix aufzustellen, nur du musst es dann als Abbildungsvorschrift aufschreiben (und eben nicht als Matrix). Kurz: Zeige, dass die Abbildung auf Basis von das Gleiche tut wie die Martrix .
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