Analysis Aufgabe mit unvollständigen Lösungsansätzen

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Analysis Aufgabe mit unvollständigen Lösungsansätzen
Meine Frage:
Moin,

Ich muss am Montag eine Präsentation in Mathe halten und hänge gerade an einer Aufgabe fest, ich habe zwar die Lösungen, jedoch ohne Begründungen oder Rechenwege und diese brauche in nunmal.

Hier sind die Aufgaben:

Also gegeben ist die Funktion ft(x)=x^3-4tx

1.) wie muss t gewählt werden, damit der Graph von ft einen Hochpunkt hat?

Hier hab ich stehen, dass ich bei der Aufgabe die ersten zwei Ableitungen bilden soll und dass ft'(x)=0 und ft''(x)=<0 gelten soll.

Die Ableitungen wären also:
ft'(x)= 3x^2-4t
ft''(x)= 6x

Wie soll ich hier jetzt weiter vorgehen und warum kann man damit begründen ob der Graph einen Hochpunkt hat?

2.) Zeigen sie, dass die Graphen der Funktionenschar durch einen Punkt gehen.

Wie geht man hier voran? Welcher punkt ist eigentlich gemeint?

3.) Kann der Parameter t so gewählt werden, dass der Punkt P(2/-8) ein Extrempunkt ist?

Hier wird geschrieben dass ich mit der 1.) vergleichen soll, jedoch weiß ich ja noch nicht wie diese funktioniert.

4.) Bestimmen sie für t=1 den Inhalt der Fläche, die der Graph mit der x- Achse einschließt.

Hier habe ich keine Ahnung unglücklich

Ich danke jedem, der mir hilft die richtigen Rechenwege und Lösungen für diese Aufgaben zu finden!

LG

Meine Ideen:
..
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich habe zwar die Lösungen


Woher eigentlich ? Du sagst ja, dass du eine Aufgabe vorstellen sollst und daher musst du sie ja selbst bearbeiten, um auf die Lösungen zu kommen.
Oder wurden dir von deinem Lehrer sogar schon Kontroll-Lösungen gegeben ?

Fangen wir mal bei 1) an.
Wie gehst du denn sonst immer vor, wenn du Hoch- oder Tiefpunkte (Extrempunkte) bestimmen sollst ?
Das hast du doch sicher schon mal gemacht oder nicht ?
 
 
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Ich habe von meinem Lehrer ein Lösungsbuch erhalten, jedoch ist dort alle sehr ungenau und schwammig erläutert.

Also wenn man Extrempunkte bestimmen will, dann muss man ja die Ableitung = 0 setzen und dann die Nullstellen rausfinden, dann hat man ja die Extremstellen von f(x). Und weiter?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich habe von meinem Lehrer ein Lösungsbuch erhalten, jedoch ist dort alle sehr ungenau und schwammig erläutert.


Hm, vielleicht auch mit Absicht. Big Laugh
Denn worin besteht sonst die Leistung bzw der Anspruch, wenn du da ja eh schon alles stehen hast ? verwirrt

Zitat:
dann muss man ja die Ableitung = 0 setzen und dann die Nullstellen rausfinden, dann hat man ja die Extremstellen von f(x)


Ja genau, hast du das getan ? Und wenn ja, was hast du raus ?
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Bin mir nicht ganz sicher, wie man das mit dem t handhaben soll.

Also man setzt die Ableitung = 0

3x^2 - 4t = 0 | -3x^2

-3x^2 = -4t | unglücklich -3)

x^2 = -4t / (-3)

Und wie gehts nun weiter?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

-4t/(-3) kannst und solltest du noch etwas schöner schreiben, was ist denn (- 4)/(- 3) ?

Und um das Quadrat bei x² weg zu bekommen, was macht man denn da immer ?
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(- 4)/(- 3) ist ja ca 1,33 bzw 4/3 also ohne - heißt dass dann einfach 4t/3?

Dann wäre es x^2 = 4t/3 | &#8730;

x = +/- &#8730;4t/3

Stimmts so?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
heißt dass dann einfach 4t/3?


Ja, genau. Freude

Was du danach machst, kann ich nicht lesen.

Benutze doch den Formeleditor, den es hier gibt.
Dann wird das alles auch schön leserlich:

http://www.matheboard.de/formeleditor.php

Und kontrolliere bitte VOR dem Absenden nochmal mit dem "Vorschau-Button", ob auch alles lesbar ist. smile
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Das sollte ein Wurzelzeichen sein, ops.

also dann würde es ja heißen x = +/- Wurzel aus 4t/3

Wie behandelt man nun t? Man muss ja t so wählen, dass man beweisen kann, dass es sich um einen
hochpunkt handelt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Moment kann ich es noch lesen, im weiteren Verlauf würde ich aber dringend empfehlen, dich mit dem Formeleditor anzufreunden.
Denn sobald ich nichts mehr erkennen kann oder es zu anstregend wird, es zu entziffern, dann bist du mich evtl los. Big Laugh

Joa, wie behandelt man das t...
Man lässt es halt so stehen.
Es steht stellvertretend für jede beliebige, reelle Zahl - oder wie ist t in der Aufgabe definiert - da müsste/sollte was zu stehen.
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Ja t ist stellvertretend für jede reelle zahl.
Wie geht man nun weiter vor?:o
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal, wie es mit dem Formeleditor aussieht:





Zunächst mal müssen wir uns die Frage stellen, für welche Werte für t der Term unter der Wurzel denn überhaupt definiert ist (in den reellen Zahlen).
Darf man denn ungestraft alles für t einsetzen beim Wurzelziehen ?
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Da man ja die Wurzeln ziehen muss, muss t eine beliebige postivie Zahl sein, da wenn t negativ sein würde, es keine Lösung geben würde.

Wenn man jetzt beispielsweiße für t=3 einsetzt dann würde es ja heißen

x1 = \sqrt{4} t*3/3

Also \sqrt{4} = 2

Oder wie funktioniert das? Ich verwirre mich gerade selbst
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf den Schreibfehler, ist deine Argumentation und dein Beispiel richtig.
Wir halten also fest ----> Für t<0 gibt es offenbar gar keine Extrempunkte.
Einen Fall lässt du jedoch noch außer Acht, nämlich t=0.
Das ist ja durchaus erlaubt - diesen Fall kann man aber auch später noch betrachten (du kannst dir ja selbst überlegen, wie der Funktionsterm für t=0 lautet und was daher zwangsweise bzgl. der Extrempunkte zu sagen ist).
Wir nehmen nun also t>0 an.
Was machst du denn immer, nachdem du die Extremstellen bestimmt hast.
Damit weiß man ja noch nicht, was genau an der jeweiligen Stelle nun für ein Extrempunkt vorliegt.
Also was macht man danach dann immer, um das rauszufinden ?
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Also wenn man einen x-Wert ausgerechnet hat, setzt man doch diesen dann in die Funktion f(x) ein und hat dann seinen Extrempunkt oder? Wenn man den Punkt hat, wie findet man heraus, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist?

Und woher weiß man, welches t man einsetzen muss, damit es auch eine Nullstelle ist? Man kann ja nicht jeden beliebigen positiven Wert einsetzen und es kommt eine Nullstelle dabei raus?

Sry, aber ich komme mit dem Formeleditor irgendwie nicht klar
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also wenn man einen x-Wert ausgerechnet hat, setzt man doch diesen dann in die Funktion f(x) ein und hat dann seinen Extrempunkt oder?


Du weißt - wie gesagt - an der jetzigen Stelle ja noch gar nicht, ob überhaupt ein Extrempunkt vorliegt.
Was du bisher gemacht hast, ist die so genannte "notwendige Bedingung für Extrempunkte" abzuspulen.
Es gibt jedoch noch eine so genannte "hinreichende Bedingung für Extrempunkte".
Klingelt da nun was ?

Zitat:
Und woher weiß man, welches t man einsetzen muss


Das ist erstmal noch uninteressant, dazu kommen wir noch.
Es wird hier auch kein konkreter Wert für t rauskommen, sondern die in Frage kommenden Werte für t, werden sogar unendlich viele sein.
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Für einen Hochpunkt muss ja gelten f'(x) = 0 und f''(x) = <0

Wie ist das nun gemeint? Was muss ich machen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht "kleiner-gleich" sondern nur "kleiner".
Na wenn schon die 2. Ableitung da steht, dann setz deine beiden Stellen doch mal in sie ein (hinreichende Bedingung).
Dann muss man sich eben überlegen, ob der entstandende Term nun größer oder kleiner als Null ist.
Für welche der beiden Stellen ist das wohl der Fall ?
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Kleiner als 0 ist dann die x2 Lösung oder? Da diese ja negativ ist.

Dann wären ja f'(x) =0 und f''(x) <0 zutreffend, und die antwort auf die Frage, wie t gewählt werden muss, damit ein hochpunkt da ist, eine positive reelle zahl ist?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, denn und das ist für alle t>0 immer kleiner als Null.
Wenn also t stellvertretend für eine positive Zahl steht (t>0), dann hat der entsprechende Graph, zu jeder positiven Zahl für t, einen Hochpunkt in .

Überlege dir - wie erwähnt- jetzt ruhig auch noch, was für t=0 gelten muss.

Bei Aufgabe 2 kann man allgemein mit ansetzen, da es hier ja um gemeinsame Punkte ALLER Graphen der Schar geht.
Mit anderen Worten will man hier also wissen, durch welchen Punkt hier alle Graphen der Schar verlaufen, egal was man für t einsetzt.
Scheinbar schneiden oder berühren sich die Graphen alle in einem Punkt und eben diesen musst du mit obigem Ansatz rausfinden.
Ziel ist es die Gleichung nach x aufzulösen - wie immer beim Bestimmen von Schnittpunkten.

Probiere das mal.
Ich melde mich später wieder, da ich jetzt erstmal ein paar Stunden weg bin.
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Ok , hab noch ne frage zu nummer 3)

Da wird ja gefragt, ob t so gewählt werden kann, dass p(2/-8) ein hochpunkt ist.

Also muss ja gelten

f'(2) = 0

Wenn man bei der Ableitung 3x^2-4t nun für x die 2 einsetzt, dann kommt 0 raus, wenn der parameter t = 3 ist,

also mit t=3 wäre dann f'(2) = 0

Wie geht man nun weiter voran, um zu gucken ob dies möglich ist oder nicht?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum hast du einen neuen Thread aufgemacht ?

Extrempunkt bestimmen

Einer reicht doch aus oder ging dir das jetzt nicht schnell genug ?

Zitat:
Da wird ja gefragt, ob t so gewählt werden kann, dass p(2/-8) ein hochpunkt ist.


So steht das nicht in der Aufgabenstellung, schau nochmal genau hin.
Würde es so da stehen, könnte man es direkt verneinen, denn...

Dass man durch f ''(2)=0 zu t=3 kommt, das stimmt.
Jetzt ist nur noch die Frage, ob man für x=2 und t=3 auch zum geforderten y-Wert -8 gelangt.
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Ich wollte die Aufgaben isoliert besprechen, merke grad aber, dass es doch nicht so ne gute Idee war.

Stimmt, habs verwechselt, es ist ja gefragt ob es ne Extremstelle sein kann.

Also setzt man 2 für x und 3 für t in f(x) ein und da dann nicht -8 rauskommt, heißt das also, dass der punkt p (2/-8) für kein t extrempunkt des graphen ist, richtig?


Wie hast du das gemeint, bei der Nummer 2) dass ich ft1 und ft2 gleichsetzen soll?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also setzt man 2 für x und 3 für t in f(x) ein und da dann nicht -8 rauskommt, heißt das also, dass der punkt p (2/-8) für kein t extrempunkt des graphen ist, richtig?


Ja, das stimmt - es scheitert an der passenden y-Koordinate.

Zitat:
Wie hast du das gemeint, bei der Nummer 2) dass ich ft1 und ft2 gleichsetzen soll?


Man muss ja die gemeinsamen Punkte von zwei allgemeinen, verschiedenen Graphen der Schar bestimmen.
Nennen wir den Parameter des einen Graphen also allgemein t1 und den des anderen Graphen t2, dann kann man durch gleichsetzen die gemeinsamen Punkte bestimmen:





Das jetzt nach x auflösen.
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okay, und woher kommt jetzt das t1 und t2, bzw. welche Zahlen verbirgen sich hinter diesen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Gar keine.
Das ist es ja gerade, man soll und muss das ja allgemein betrachten.
Würde ich Zahlen für t1 und t2 einsetzen, dann würde ich die gemeinsamen Punkte zweier konkreter Graphen der Schar bestimmen.
Man soll aber ja zeigen, dass alle Graphen einen bestimmten Punkt gemeinsam durchlaufen und nicht nur, dass zwei dieser Graphen dies tun.
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..
Alles klar.

Wie man die Funktion jetzt nach x auflöst ist mir jedoch irgendwie nicht klar, da mich das t1 und t2 irgendwie total verwirren verwirrt

Kannst du mir zeigen, wie man die funktion nach x auflöst? ich glaub ich komm nicht drauf
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Stell dir vor, da stünden statt t1 und t2 irgendwelche Zahlen, wie würdest du denn dann vorgehen ?
Ganz genau so geht es auch hier, nur dass du t1 und t2 einfach mitschleppst.
Probiere es doch einfach mal und poste dann deinen Rechenweg.
Ein erster Schritt sollte sein, alles auf eine Seite zu bringen und zusammenzufassen.
Wenn man das richtig gemacht hat, ist man eigentlich auch schon fast fertig. Freude
HelftMirPlease Auf diesen Beitrag antworten »

x^3-4t1x = x^3-4t2x | + 4t2x

x^3-4t1x+4t2x = x^3

Stimmt das soweit?
Wie geht man nun weiter vor?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Na wie gesagt, ALLES auf eine Seite.
Also auch noch das x³ rüberholen.
Dann zusammenfassen.
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Wenn man dann -x^3 macht dann fällt es doch weg? Muss das so sein?

Dann hieße es ja -4t1x+4t2x = 0 ?

Kann man dann nicht vereinfachen weil man die t's nicht kennt?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt passiert dasselbe, wie wenn da z.B. -3x+5x=0 stehen würde, was würdest du dann tun ?
Dasselbe machst du jetzt auch bei -4t1x+4t2x=0.
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Da würde ich logischerweiße einfach schreiben 2x=0
Aber hier kann man doch nicht addieren, weil es unterschiedliche t sind??

Meh, ich bin zu blöd für mathe x-x
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber hier kann man doch nicht addieren, weil es unterschiedliche t sind??


Dass man es nicht so schön wie bei -3x+5x zusammenrechnen kann, ändert ja nichts daran, dass man es trotzdem genau so tun darf.
Das heißt du addierst dann einfach die Faktoren -4t1 und 4t2 und lässt sie vor dem x als Faktor stehen.
Damit hast du dann eben (-4t1+4t2)x=0.
So und jetzt, was fehlt jetzt noch ?
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Man muss nach x auflösen oder? Aber wie? x-x
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würdest du 2x=0 nach x auflösen ?
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durch 2 teilen.

Aber hier kann man ja nicht durch x teilen weil es dann 0/x heißen würde oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum durch x teilen, du hast doch bei 2x=0 auch nicht durch x geteilt... verwirrt
HelftMirPlease Auf diesen Beitrag antworten »

Uff, ja du siehst ich bin geistig nur noch verwirrt, ich glaub du musst mich aufklären Hammer

Danke dir für deine Geduld Gott
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dich nur konzentrieren.
Ich erwähne ja immer wieder und wieder, dass du einfach dasselbe machen musst, wie wenn da Zahlen statt t's stehen.
Dann dividiere die Gleichung doch einfach durch (-4t1+4t2), dann bist du den Faktor doch los und dann steht x, wie gewünscht, alleine.
Was kommt dann raus für x ?
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