Pivotisierung, Gauß (Jordan)-Algorithmus

16.01.2016, 15:14	Stefan90	Auf diesen Beitrag antworten »
Pivotisierung, Gauß (Jordan)-Algorithmus Meine Frage: Hi. Ich versuche gerade den Stoff der Vorlesungen zu wiederholen und verstehen. Ist es egal, ob ich das Gauß-Verfahren oder den Gauß-Jordan Algorithmus verwende zur Lösung eines linearen Gleichungssystems? Ist Pivotisierung=Gauß-Jordan Algorithmus? Wenn ich die inverse Matrix berechne, dann kann ich dafür nur den Gauß-Jordan Algorithmus verwenden oder? Meine Ideen: -
16.01.2016, 15:25	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pivotisierung, Gauß (Jordan)-Algorithmus Hey, im Allgemeinen ist der Gauß-Jordan-Algorithmus einer Erweiterung des Gauß-Algorithmus, indem du die jeweilige Matrix erweiterst und dann sozusagen zwei Matrizen oder eine Matrix und einen Vektor gleichzeitig so bearbeiten kannst, bis du die Lösung des Gleichungssystems direkt ablesen kannst. Pivotisierung erreichst du, indem du Gauß auf die Matrix anwendest. Es gibt keine scharfe Trennung zwischen Gauß und Gauß-Jordan; die Benennung hängt, denke ich, eher damit zusammen, wie weit du die Matrix bearbeitest (komplett zur Einheitsmatrix oder "nur" Zeilenstufenform mit Einträgen ungleich 0 über/unter der Hauptdiagonalen). Die Inverse berechnest du i.d.R mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus, da du die linke Seite komplett auf die Einheitsmatrix bringst
16.01.2016, 15:47	Stefan90	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit ich nichts durcheinander bringe, den Gauß-Jordan Algorithmus und Gauß-Algorithmus kann ich zum Lösen von linearen Gliechungssystemen nutzen. Und für die Bestimmung einer inversen Matrix nehme ich den Gauß-Jordan Algorithmus für die linke Seite der Matrix <- Dies wird dann Pivotisierung genannt?
16.01.2016, 15:58	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Für lineare Gleichungssysteme benutzt du am besten den Gauß-Jordan-Algorithmus, da du (wenn die Matrix links komplett gestrichen ist) direkt die Lösung(en) ablesen kannst. Für die inverse Matrix auch am besten Gauß-Jordan, denn für die Inverse brauchst du links eine Einheitsmatrix. Pivotisierung heißt, dass z.B. oben links eine 1 hast und in jeder Zeile darunter "eingerückt" weitere Einsen (oder andere Zahlen). Z.B. $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right) \end{eqnarray}$ wäre eine Matrix mit Pivoteinträgen. Du musst oft nämlich nicht weitermachen (d.h. über der Hauptdiagonalen Nullen streichen), wie beispielsweise bei der Berechnung der Determinante einer Matrix.
16.01.2016, 18:00	Stefan90	Auf diesen Beitrag antworten »
Vieeelen Dank, jetzt habe ich es wieder verstanden. Eine Frage noch, wenn ich die inverse Matrix über den Gauß-Jordan bestimme, kann ich dann auch dort wieder Zeilen vertauschen? \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \| 1 & 0 & 0\\ 2 & 4 & 5 \| 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \| 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} Hier würde ich gerne die 3. Zeile mit der 1. Zeile vertauschen, weil ich so schon den Wert 1 aus c31 dann oben links bei a11 hätte. Darf ich das trotz der E Matrix auf der rechten Seite?
16.01.2016, 19:06	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne Mal was lesbarer: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|ccc} 3&5&1&1&0&0\\2&4&5&0&1&0\\1&2&2&0&0&1\\\end{array}\right) \end{eqnarray}$ Ja, klar, hier darfst du tauschen Aber dann natürlich auf beiden Seiten.
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