Zeige, dass f(x):=x/(1+|x|) streng monoton wachsend ist.

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Hugemann Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass f(x):=x/(1+|x|) streng monoton wachsend ist.
Meine Frage:
Hallo,

wir haben folgende Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion mit . Zeige, dass streng monoton wachsend auf ist.

Meine Ideen:
Ich habe jetzt versucht zu zeigen, dass x<y => f(x)<f(y), indem ich in alle möglichen Richtungen abgeschätzt habe. Die Abschätzungen sind aber immer zu grob und ich komme einfach nicht weiter, kann mir da jemand ein paar Tips geben?

Würde mich sehr über eine Antwort freuen.

MfG
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es, wenn du den Betrag auflöst und eine Fallunterscheidung machst:



Wenn deine Funktion streng monoton wachsen soll, muss für alle x gelten: . Also müsstest du nun mal die Ableitungen bilden.
Hugemann Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Mathema,

danke für die schnelle Antwort. smile

Ich würde das zwar gerne so machen, Problem ist aber, dass wir in der Vorlesung noch keinen Satz über den Zusammenhang zwischen Monotonie und der 1. Ableitung hatten.

Man könnte das jetzt natürlich erstmal beweisen, aber ich denke, dass wir die Aufgabe mit dem von mir angeführten Ansatz lösen "sollen".

Gibt es da nicht einen Weg das zu machen?

MfG
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das lernt man doch in der Schule...

Dann vielleicht so:

Sei . Dann muss gelten: also .

mit

Zeige nun:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Folgendes erleichtert vielleicht die Sache ein wenig:

Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. . Man kann sich überlegen, dass in einem solchen Fall der Nachweis der strengen Monotonie auf ausreicht, d.h., für alle .
Hugemann Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke Mathema smile

@HAL 9000:

Vielen Dank für die Antwort! Dann muss nur noch gezeigt werden, dass die Funktionswerte auf immer positiv und auf immer negativ sind.

Perfekt smile
 
 
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du da großartig zeigen? Der Nenner ist immer positiv, der Zähler wird für positive x positiv und für negative x negativ.
Hugemann Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Big Laugh
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Nur damit kein Missverständis entsteht: das Vorzeichen der Funktion reicht nicht aus, um mit HALs Hinweis auf Monotonie zu schließen. Und da man hier wohl keine Ableitung benutzen will, kann man es in dem Fall auch umschreiben zu und benutzen, dass streng monoton wächst.
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