Umfang der regelmäßigen Polynoms der nten Einheitswurzeln beweisen

16.01.2016, 15:24

schaf97

Umfang der regelmäßigen Polynoms der nten Einheitswurzeln beweisen

Meine Frage:
Beweise
1.
Der Umfang der regelmäßigen Polygone, die durch die nten Einheitswurzeln im Einheitskreis gebildet werden, ist
Un = 2n sin(Pi/n) für n >=3

2. lim Un = 2 Pi mit n gegen unendlich

Meine Ideen:
1.
Umfang ist n mal die Kantenlänge zwischen zwei der Wurzeln

Betrachte eine Kantenlänge zwischen Wurzel k und Wurzel k-1 mit k zwischen 0 und n-1 bzw. 1 und n

| e ^ ( i*2pi k/n)- e ^ i*2pi (k-1)/n)|
Ich habe vorwärts und rückwärts gerechnet

Das ganze würde stimmen wenn 2/i = e^(i* (2k-1)/n * Pi) wäre

Und ich weiß

e^ (i*pi/2) = i

Weiter komme ich nicht???.

Zu 2.
Lim Un = 2 Pi * lim sin (pi/n)/ (pi/n)

Da Pi/n mit n gegen unendlich gegen 0 geht folgt, dass lim sin ... mit n gegen unendlich = lim sin h/h mit h gegen 0
Dieser ist 1 also

Also lim Un = 2 Pi *1 qed

So ok?

18.01.2016, 00:30

mYthos

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RE: Umfang der regelmäßigen Polynoms der nten Einheitswurzeln beweisen

Zitat:

Original von schaf97
...
Betrachte eine Kantenlänge zwischen Wurzel k und Wurzel k-1 mit k zwischen 0 und n-1 bzw. 1 und n

|e ^ ( i*2pi k/n)- e ^ i*2pi (k-1)/n)|
...

Das ist richtig! Nun ist auszuklammern ( $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ ist die Länge der Vieleck-Seite):

$\begin{eqnarray*} s_n=|e^{i(k-1)\frac{2\pi}n}| \cdot |e^{i \frac{2\pi}n}-1| \end{eqnarray*}$

Der Betrag des ersten Faktors ist 1, der zweite Faktor ist nach Real- und Imaginärteil so umzuformen, damit dessen Betrag ebenfalls berechnet werden kann:

$\begin{eqnarray*} e^{i \frac{2\pi}n}-1 = \cos \frac{2\pi}n + i \sin \frac{2\pi}n - 1 \end{eqnarray*}$

Der Realteil dieser komplexen Zahl ist $\begin{eqnarray*} \cos \frac{2\pi}n - 1 \end{eqnarray*}$ , der Imaginärteil $\begin{eqnarray*} \sin \frac{2\pi}n \end{eqnarray*}$ , wir setzen das Quadrat deren Betrages gleich $\begin{eqnarray*} s_n^2 \end{eqnarray*}$ , denn dies betrifft letztendlich die Länge der Vieleckseite:

$\begin{eqnarray*} s_n^2= \cos^2 \frac{2\pi}n - 2 \cos \frac{2\pi}n + 1 + \sin^2 \frac{2\pi}n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Den Rest der Berechnung solltest du jetzt allein schaffen (trigonometrische Umformung .. [ $\begin{eqnarray*} 1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x \end{eqnarray*}$ ] )

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n = 2 \sin \frac{\pi}n \end{eqnarray*}$

2.
Diesen Grenzwert hast du korrekt berechnet! smile

mY+

22.01.2016, 20:04

schaf97

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RE: Umfang der regelmäßigen Polynoms der nten Einheitswurzeln beweisen
danke, das hat mir super geholfen

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