Dritte Wurzel der komplexen Zahl 8 (cos(21°)+isin(21°)

16.01.2016, 16:28

Luna8812

Dritte Wurzel der komplexen Zahl 8 (cos(21°)+isin(21°)

Meine Frage:
Ich soll die dritte Wurzel der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} 8 (cos(21°)+isin(21°) \end{eqnarray*}$ angeben.

Ich habe nur keine echte Idee wo ich anfangen soll.

Meine Ideen:
Es ist ja bereits in der Polarform geben.Ich hätte zuerst mal den cos(21°) und isin(21°) berechnet.

Das ergibt ja $\begin{eqnarray*} z= 8 (cos(\frac{7\pi }{60} )+ isn(\frac{7\pi }{60} )) \end{eqnarray*}$

aber wie geht es dann weiter ? n= 3 oder und dann ergibt sich für k=0,1,2

Jetzt komme ich nicht mehr weiter...könnte mir jemand bitte Helfen?

16.01.2016, 16:40

MeMeansMe

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RE: Dritte Wurzel der komplexen Zahl 8 (cos(21°)+isin(21°)
Es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{z} = z^\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Kommst du damit weiter? smile

16.01.2016, 19:16

Luna8812

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Werden wir gleich sehen Augenzwinkern

Ich habe raus für

$\begin{eqnarray*} K=0 2,81+0,35i<br /> K=1 -2,81-0,34i<br /> K=3 -1,11-2,60I \end{eqnarray*}$

stimmt das?...Falls nicht gebe ich meinen Rechenschritte an.

16.01.2016, 19:36

MeMeansMe

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So wie ich deine Ergebnisse verstehe (das nächste Mal bitte deutlich aufschreiben!), solltest du mal deinen Rechenweg posten Augenzwinkern

16.01.2016, 21:39

Luna8812

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$\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K=0,1,2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {|z | }=8 \end{eqnarray*}$

Mit dieser Formel habe ich gerechntet

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{|z | }*(cos(\frac{\alpha }{n}+K*\frac{360°}{n})+isin(\frac{\alpha }{n}+K*\frac{360°}{n})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> z_{0} = \sqrt{8} (cos(\frac{21°}{3} + 0*180°)+isin(\frac{21°}{3} + 0*180°) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{0} = \sqrt{8} (cos(7°))+isin((7°)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{0} = -2,81+0,34i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1} = \sqrt{8} (cos(\frac{21°}{3} + 1*180°)+isin(\frac{21°}{3} + 1*180°) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1} = \sqrt{8} (cos(7°))+isin((7°)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1} = -2,81-0,34i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{2} = \sqrt{8} (cos(\frac{21°}{3} + 2*120°)+isin(\frac{21°}{3} + 2*120°) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{2} = -1,11-2,60i \end{eqnarray*}$

so hab versucht Ordentlich zuschreiben Augenzwinkern

17.01.2016, 09:41

MeMeansMe

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Hey,

da ist leider ein bisschen was schief gelaufen smile

Deine Formel war richtig. Allerdings musst du nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{8}=2 \end{eqnarray*}$ benutzen. Dann teilst du 360° durch 2 und nicht durch 3 (außer bei $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ komischerweise). Außerdem ist bei $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ das Argument des Cosinus und Sinus falsch.

Kontrollier das noch mal alles smile

Zitat:

Original von Luna8812
so hab versucht Ordentlich zuschreiben Augenzwinkern

Sehr gut

Du kannst übrigens für $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ jeweils schreiben:

code:
1: 2:	\sin \cos

Also mit \ davor, dann wird es schöner dargestellt. Ist aber nur ein allgemeiner Hinweis Augenzwinkern

17.01.2016, 11:34

Luna8812

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Guten Morgen,

oh da ist tatsächlich etwas falsch gelaufen Augenzwinkern

, ich setze mich gleich nochmal dran.
Ich habe aber noch eine Frage.
In der Formel steht $\begin{eqnarray*} \frac{360°}{n} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ ist wieso soll ich dann durch 2 teilen ? $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt doch den Grad der Wurzel an.

Ich bin meine Unterlagen nochmal durchgegenen aber ich finde keine Erklärung dafür. verwirrt

17.01.2016, 12:06

MeMeansMe

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Hey,

Zitat:

Original von Luna8812
In der Formel steht $\begin{eqnarray*} \frac{360°}{n} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ ist wieso soll ich dann durch 2 teilen ? $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt doch den Grad der Wurzel an.

Du hast mich falsch verstanden smile

Du musst durch 3 teilen, aber bei $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ teilst du durch 2 (da $\begin{eqnarray*} \frac{360}{2}=180 \end{eqnarray*}$ ). Du hast schon recht, dass $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ .

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