N Kugel in einer Urne ohne Zurücklegen ziehen

17.01.2016, 09:35	Steph83	Auf diesen Beitrag antworten »
N Kugel in einer Urne ohne Zurücklegen ziehen Meine Frage: Hallo, ich benötige ein wenig Hilfe für folgende Aufgabe (sie ist aus einer früheren Klausur mitgeschrieben worden): N Kugeln sind in einer Urne und von 1 bis N nummeriert. n Kugeln werden nun ohne Zurücklegen gezogen und die Nummern aufgeschrieben. Die Zufallsvariable G ist die größte gezogene Nummer. a) Berechne P(G<= i) für i>=n b) Berechne P(G=i) Meine Ideen: noch auf keine Idee bisher gekommen
17.01.2016, 10:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Es gibt $\begin{align} \binom{N}{n} \end{align}$ mögliche Auswahlen der $\begin{align} n \end{align}$ Kugeln aus der Kugelmenge $\begin{align} \{1,\ldots,N\} \end{align}$ , und die sind alle gleichwahrscheinlich (d.h., wir sind in einem Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum). Das hier interessierende Ereignis $\begin{align} G\leq i \end{align}$ tritt genau dann ein, wenn die zugehörigen Auswahlen bereits in der Kugel-Teilmenge $\begin{align} \{1,\ldots,i\} \end{align}$ liegen... b) Es ist $\begin{align} P(G=i) = P(G\leq i) - P(G\leq i-1) \end{align}$ , damit ist das Ergebnis aus dem von a) ableitbar.
17.01.2016, 10:14	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
mir ist der Ansatz auch ( noch ) unklar, aber mit Zurücklegen geht es so: a.) $\begin{eqnarray} P(G\leq i) = \bigg( \frac iN \bigg)^n \end{eqnarray}$ b.) $\begin{eqnarray} P(G= i) &=& P(G\leq i) -P(G\leq i-1)\\<br /> &=& \bigg( \frac iN \bigg)^n -\bigg( \frac {i-1}{N} \bigg)^n \end{eqnarray}$ ohne Zurücklegen müsste es "so ähnlich" gehen
19.01.2016, 10:55	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
bleibt noch der rechnerische Ansatz für Ziehen ohne Zurücklegen . Meiner Meinung nach gilt: a.) $\begin{eqnarray} P(G\leq i) = \bigg( \frac iN \bigg)\cdot \bigg( \frac {i-1}{N-1}\bigg) \cdot\bigg( \frac {i-2}{N-2}\bigg)\cdots \bigg( \frac {i-n+1}{N-n+1}\bigg)=\frac { (N-n)!\cdot i! }{(i-n)! \cdot N! }\qquad , \, n\leq i \end{eqnarray}$ b.) siehe oben.
19.01.2016, 10:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a) Was äquivalent zu $\begin{align} P(G\leq i) = \frac{\displaystyle \binom{i}{n}}{\displaystyle \binom{N}{n}} \end{align}$ ist.
19.01.2016, 11:04	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
() (wenigstens nicht falsch ! ) EDIT: () das Erweitern mit n! muss man erst mal "sehen"
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19.01.2016, 11:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist doch schön, wenn mit verschiedenen Überlegungen, die alle ihre Berechtigung haben, dasselbe Ergebnis rauskommt, also kein Grund für ein . Ich wollte nur einer möglichen Frage "was von beiden ist denn nun richtig" von Steph83 vorgreifen.
19.01.2016, 11:37	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} P(G\leq i) = \frac{\displaystyle \binom{i}{n}}{\displaystyle \binom{N}{n}} \end{eqnarray}$ ist sozusagen ein rechenfreier Direktansatz ! Und ist eine Folge deines Hinweises , dass ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum vorliegt. Man muss eben nur Lesen können.

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