Größe von n, für bestimmte Abweichung von unbekannter Wahrscheinlichkeit

17.01.2016, 13:39

IWillTry

Größe von n, für bestimmte Abweichung von unbekannter Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich habe die folgenden Werte "gegeben":

p - unbekannte Heilungswahrscheinlichkeit eines Medikaments n - Anzahl der Testpatienten Xi - Indikatorvariable => Heilung tritt bei i-tem Patienten ein
Es wird davon ausgegangen, dass bei den Patienten die Heilung unabhängig voneinander mit einer W. von p eintritt.

Frage 1:
Für welches p?[0, 1] wird Var(Xi) maximal?

Frage 2: Wie groß muss n sein, damit die relative Häufigkeit der geheilten Patienten mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.95 Werte annimmt, die von der unbekannten Heilungswahrscheinlichkeit p um weniger als 0.025 abweichen? ==> Nutze die Tschebychev-Ungleichung und die Abschätzung aus Frage 1
Kann mir jemand hierfür bitte einen Ansatz geben, ich stehe voll auf dem Schlauch..

Danke schonmal

Meine Ideen:
Einen richtigen Ansatz habe ich noch nicht..
Die Tschebychev-Ungleichung: $\begin{eqnarray*} P(|X-EX|>\epsilon)\le\frac{Var(X)}{{\epsilon}^{2}} \end{eqnarray*}$

17.01.2016, 13:48

HAL 9000

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Klären wir zunächst mal die verwendeten Begriffe:

Zitat:

Original von IWillTry
Xi - Indikatorvariable => Heilung tritt bei i-tem Patienten ein

Weißt du, was damit für eine Zufallsgröße gemeint ist? Und welche Verteilung die hat (in Abhängigkeit von $\begin{align*} p \end{align*}$ ) ?

Wenn das klar ist, kannst du anschließend auch die Berechnung von $\begin{align*} \operatorname{Var}(X_i) \end{align*}$ angehen.

17.01.2016, 14:22

IWillTry

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Indikatorvariable
Hi,

für die Indikatorvariable Xi sollte die Varianz wie folgt berechnet werden:
$\begin{eqnarray*} Var(Xi)=P(i)(1-P(i))1^{2}+(1-P(i))(0-P(i))^{2}=P(i)(1-P(i)) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so für diesen Fall?

17.01.2016, 14:26

HAL 9000

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Ja, wobei $\begin{align*} P(i) \end{align*}$ gleich $\begin{align*} p \end{align*}$ ist, d.h., es ist $\begin{align*} \operatorname{Var}(X_i) = p(1-p) \end{align*}$ .

17.01.2016, 14:47

IWillTry

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Varianz von Xi
Also wird Var(Xi) maximal für p=0,5.

Var(Xi)'=(p(1-p))'=1-2p
Var(Xi)''=(-(p-1)p)'=-2

$\begin{eqnarray*} 1-2p=0\Leftrightarrow p=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Und da Var(Xi)'' negativ ist, muss dort ein Maximum sein.

17.01.2016, 14:53

HAL 9000

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Ja, ist richtig. Wobei man es auch schlicht über $\begin{align*} p(1-p) = \frac{1}{4} - \left(p-\frac{1}{2}\right)^2 \leq \frac{1}{4} \end{align*}$ begründen kann.

17.01.2016, 15:04

IWillTry

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Aufgabe 2
Dann wäre die erste Frage ja schonmal geklärt, danke.
Wie gehe ich das dann bei der 2 an?
Also für die Varianz schätze ich ja jetzt immer mittels des Ergebnisses aus der 1 ab...

17.01.2016, 15:10

HAL 9000

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Zur Frage 2:

Die Summe $\begin{align*} S=X_1+\ldots+X_n \end{align*}$ der Indikatorvariablen gibt die zufällige Anzahl der geheilten Patienten an, und ist als solche binomialverteilt $\begin{align*} B(n,p) \end{align*}$ . Die genannte relative Häufigkeit ist dann einfach $\begin{align*} X=\frac{S}{n} \end{align*}$ , und für die wendest du Tschebyscheff an.

17.01.2016, 15:16

IWillTry

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Wo bzw. wie setze ich denn dann die vorgegebene maximale Abweichung von p ein und den Mindestwert der relativen Häufigkeit?

17.01.2016, 15:25

HAL 9000

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$\begin{align*} \varepsilon = 0.025 \end{align*}$ sollte doch wohl aus der Aufgabenstellung ablesbar sein. Und da es um eine Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung von weniger als 0.025 geht, betrachtet man eher die Komplementärvariante von Tschebyscheff, d.h.

$\begin{align*} P(|E-X(X)|< \varepsilon) \geq 1-\frac{\operatorname{Var}(X)}{\varepsilon^2} \end{align*}$ .

Rechne doch nun mal $\begin{align*} \operatorname{Var}(X) \end{align*}$ aus und schätze es gemäß a) geeignet ab.

17.01.2016, 15:26

IWillTry

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Okay, die Berechnung sollte hieraus folgen:

$\begin{eqnarray*} P(\frac{S_{X_{i}}}{n}-d\leq p\leq \frac{S_{X_{i}}}{n}+d )\geq 0.95 \end{eqnarray*}$

stimmts?

EDIT: hatte deine Antwort noch nicht gesehen..

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