Komplexe Zahl umformen

17.01.2016, 13:47

Fenja

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Komplexe Zahl umformen

Meine Frage:
Ich habe hier noch einmal ein schwierigen Fall

$\begin{eqnarray*} \left(-\sqrt{3} - i\right)^{2} \left( \frac{1}{2} \left(1-\sqrt{3}i\right) \right) ^{7} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
- Ich habe mir Folgendes überlegt. der Erste teil ist ja eine Bin. Formel.

der Zweite Teil ist eine Bin Formel hoch 7 oder ?

Ich habe angefangen zu rechnen und bin hier stehen geblieben.

$\begin{eqnarray*} \left(-2 +2 \sqrt{3}i\right) \left(\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}i }{2}\right)^{7} \end{eqnarray*}$

Bin ich auf den Richtigen Weg ?

Ich würde weiterhin einfach mal versuchen wie schon gesagt die bin Formel ^7 einzusetzen.

17.01.2016, 14:01

HAL 9000

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Du kannst über den binomischen Satz (mit Exponent 7) gehen, aber das ist eine elend lange Rechnerei. Im vorliegenden Fall ist es eher anratsam, mit der Polarform zu rechnen. D.h., mit

$\begin{align*} -\sqrt{3}-i = r_1 e^{i\varphi_1} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{2}\left(1-\sqrt{3}i\right) = r_2 e^{i\varphi_2} \end{align*}$

für die beiden beteiligten Zahlen gilt nach den Rechenregeln für Multiplikation/Potenzen von komplexen Zahlen in der Polarform

$\begin{align*} \left(-\sqrt{3} - i\right)^2 \left( \frac{1}{2} \left(1-\sqrt{3}i\right) \right)^7 = r_1^2 e^{i2\varphi_1} \cdot r_2^7 e^{i7\varphi_2} = r_1^2 r_2^7 e^{i(2\varphi_1+7\varphi_2)} \end{align*}$ .

17.01.2016, 14:17

URL

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ein wenig einfacher wird es, wenn man vor Übergang zu Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} -\sqrt{3}-i=-i(1-\sqrt{3}i) \end{eqnarray*}$ benutzt

17.01.2016, 18:21

Fenja

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D.h. ich muss bei beiden Teilen wieder a und b bestimmen dann r und phi bestimmen als ersten Ansatz ?

18.01.2016, 21:12

Fenja

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ist das richtig ?

18.01.2016, 21:34

HAL 9000

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Was soll richtig sein? In

Zitat:

Original von Fenja
D.h. ich muss bei beiden Teilen wieder a und b bestimmen dann r und phi bestimmen als ersten Ansatz ?

ist nichts konkretes zu erkennen, deswegen hat vermutlich auch keiner geantwortet.

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18.01.2016, 22:43

Dopap

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Zitat:

Original von Fenja
D.h. ich muss bei beiden Teilen wieder a und b bestimmen dann r und phi bestimmen als ersten Ansatz ?

ich verstehe es schon.

Du meinst: von beiden komplexen Zahlen in den Klammern jeweils den Real- und den Imaginärteil bestimmen ... ( die stehen doch schon da ?!?) ... um dann jeweils Betrag und Argument zu bestimmen ...
------
und dann die Potenzregel 2 mal anwenden, und zuletzt die Multiplikationsregel.

18.01.2016, 22:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
die stehen doch schon da ?!?

Eben das hat mich verwirrt. Und außerdem steht diese Vorgehensweise doch schon beschrieben da? Aber vielleicht muss ich mich noch dran gewöhnen, dass manche das nie beim erstem mal glauben, d.h., immer noch ein paar zusätzliche Bestätigungen brauchen.

18.01.2016, 23:04

Dopap

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Zitat:

Original von HAL 9000

[...]
$\begin{align*} \left(-\sqrt{3} - i\right)^2 \left( \frac{1}{2} \left(1-\sqrt{3}i\right) \right)^7 = r_1^2 e^{i2\varphi_1} \cdot r_2^7 e^{i7\varphi_2} = r_1^2 r_2^7 e^{i(2\varphi_1+7\varphi_2)} \end{align*}$ .

Ich denke, dass das gar nicht mehr bewusst gelesen wird. unglücklich

unglücklich

@Fenja: Du solltest ein zwei Basisstunden mit komplexen Zahlen nehmen. Die Aufgaben sind einfach momentan too heavy.

oder hier am Board erst einmal einfachere Sachen einstellen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.02.2016, 14:56

Fenja

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Okay ich mache erstamal andere Aufgaben.

wir sollen den Betrag r und Argumet phi berechnen.

Habe hier für r = 2 raus und für phi = $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{6} \end{eqnarray*}$

das richtige Ergebnis wäre : phi =
$\begin{eqnarray*} 11 \frac{\pi }{6} \end{eqnarray*}$

was hab ich da falsche gemacht ?

03.02.2016, 15:04

Dopap

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um welche Zahl geht es denn ?

03.02.2016, 15:28

Fenja

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Oh wie dumm von mir ! sorry

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} + \sqrt{6} i \end{eqnarray*}$

03.02.2016, 15:50

Dopap

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$\begin{eqnarray*} z=\sqrt 2 +\sqrt 6 \cdot i \end{eqnarray*}$

also ist $\begin{eqnarray*} a=\sqrt 2 ,\quad b=\sqrt 6 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} r=|z|=\sqrt { (\sqrt 2)^2+(\sqrt 6 )^2}= \sqrt 8 \end{eqnarray*}$

wie kommst du auf r=2 ?

03.02.2016, 16:05

Fenja

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ich hatte mich verguckt
\sqrt{3} - i
Das ist die Aufgabe

03.02.2016, 16:07

Fenja

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{3} - i \end{eqnarray*}$

03.02.2016, 16:44

Dopap

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also stimmt r=2.

Wie hast du das Argument = bestimmt?

03.02.2016, 17:18

Fenja

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$\begin{eqnarray*} arctan ( \frac{b}{a} ), arctan ( \frac{-1}{1,73} ), arctan (-0,58 ) \end{eqnarray*}$

180 / 30 = 6 = pi/6

03.02.2016, 18:49

Dopap

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sorry, ich steige hier aus. Wink

Wink

05.02.2016, 00:13

mYthos

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Der Tangens von 30° ist NICHT $\begin{eqnarray*} \color{red}-\color{black}\frac 1 {\sqrt 3} \end{eqnarray*}$ , also wird's mit 30° allein wohl nichts!

TIPP:
Lokalisiere zunächst aus den Vorzeichen des Real- bzw. Imaginärteiles, in welchem Quadranten der Zeiger liegen muss! Dann kannst du die 30° (pi/6) entsprechend [.. mit den 360° (12pi/6) ..] verarbeiten ..

mY+

06.02.2016, 15:55

Fenja

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wenn Re = - W(3)
und Im = 1

dann liegt er ja im 2 Qudranten oder ?

wie kann ich das jetzt mit 11 pi/6 verarbeiten ?

06.02.2016, 23:34

mYthos

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Warum drehst du das um, es ist doch umgekehrt, Re = W(3) und Im = -1
Dann liegt das Ding wo?

[attach]40784[/attach]

07.02.2016, 13:43

Fenja

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Ich muss mehr damit arbeiten... Meinem Kopf fehlt noch an Übung.

ja das ist dann im dritten Quadranten.

Aber wenn:

$\begin{eqnarray*} -1 = \pi ;<br /> -i = 1,5 \pi ;<br /> 1 = 2 \pi \end{eqnarray*}$

wie komme ich auf 11 pi ?

07.02.2016, 16:08

totti

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Ich mische mich nur ungern ein,

aber schau besser nochmal nach, wie man die Quadranten zählt.

positiv RE kann nur Quadrant 1 oder 4 sein.

Jetzt hast du ein negativen IM, das bedeutet schlicht weg:

ES KANN NICHT DER 3. QUADRANT SEIN

Wichtig dabei ist auch zu wissen, wie Ihr die Argumentsfunktion definiert habt. Entweder [pi|-pi) oder von 0 bis 2pi

Mythos sagte auch nicht 11pi sondern, dass du Dir vllt Gedanken machen sollst, einen Quadranten, der bekanntlich 90° hat, in 3 Teile aufteilest. Das bedeutet 30°!

4 Quadranten á 3 Unterteilungen machen in Summe 12 Teile. Und jetzt sind es 11/12 pi . Wenn du es als 360 betrachtest, 330° oder -30°.

Ich glaube ehrlich, dass es deinem Kopf nicht an Übung fehlt, sondern noch am Verständnis und ggf. der Vorstellung von komplexen Zahlen.

07.02.2016, 16:47

Fenja

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Hallo totti,

du brauchst dich nicht zu entschuldigen, eine gute Antwort ist immer willkommen.
Zu dem weiß ich, dass ich selbst dumm antworten kann und manchmal dumme Fragen stelle. Leider lerne ich so :-(
Danke für deine Antwort. In der Vorlesung hatten wir von 0 bis 2 pi defeniert.
Deshalb hat mich das verwirrt. Jetzt weiß ich woher das kommt mit 11 und 12 pi.
- 30 ° => wenn man gegen den Urzeigersinn geht man durch 11 Bereich a 30 °.
Für jedes der Bereiche steht ein pi.

d.h bei 150 ° wären wir bei 5 pi richtig ?

07.02.2016, 18:54

mYthos

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Zitat:

Original von Fenja
... von 0 bis 2 pi defeniert.
...
Für jedes der Bereiche steht ein pi.

d.h bei 150 ° wären wir bei 5 pi richtig ?

Das ist leider wieder falsch, wenn du für "Bereich" 30° meinst.
Überlege nochmals, welcher Teil von pi ein Winkel von 30° ist! 150° sind dann 5 solche Teile ..

Und bitte, sagen wir: .. definiert

mY+

07.02.2016, 19:33

Fenja

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Ja genau das meine ich.
Man würde dann im 2 Quadranten liegen richtig ?

08.02.2016, 01:40

mYthos

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So, die 150° liegen im 2. Quadranten, richtig. Und wie lautet dieser Winkel nun im Bogenmaß (in pi)?
-------------
Ich frage dich aber jetzt mal, weshalb springst du plötzlich wieder zu einem anderen Winkel (150°), wo du doch das andere Beispiel (-30° oder 330°) noch nicht gelöst hast?

Wie geht das jetzt mit den 11pi/6, wo liegt das Ding und wie ist es zu berechnen?

mY+

08.02.2016, 10:08

Fenja

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In Bogenmaß lautet er wenn man von 0 - 12 pi defeniert ist das dann 5 pi

08.02.2016, 10:15

Fenja

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das mit 150° war ja ein Übungsbeispiel.

Also : bei -30 ° liegen wir ja im 3 Quadranten. d.h 11 pi oder ?

08.02.2016, 18:15

mYthos

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Weder das eine noch das andere stimmt, du bist leider beratungsresistent.
Ich sagte dir erstens, es heisst definiert (!) und zweitens sind 30° doch NICHT pi

Du musst so rechnen:

360° entspricht 2pi,
das bleibt immer so, da kannst nichts umdefinieren (und 30° plötzlich zu pi machen).

360° = 2pi
180° = pi
90° = pi/2
..., usw.

Was sind nun 150° und 330° wirklich?

mY+

08.02.2016, 20:16

Fenja

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bei 150 ° müsste es 5/6 pi sein weil pi = 180 dann 150 / 180 = 5 / 6 ( 6/6 pi wäre ja 1 )

bei 330° müsste demnach 330 ° / 380 ° dann 11/12 pi sein (12 / 12 pi wäre dann doch 2 pi )

ist das richtig ?

08.02.2016, 20:31

Fenja

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sorry 360°*

Ahh und bei - 30 ° ist quasi 330 ° ist 11/6 pi weil 1 pi = 180 grad = 6/6 pi;
2 pi = 360 grad = 12/6 pi

bei 330° bzw - 30 ° ist dann 11/6 pi

oder ?

08.02.2016, 22:20

mYthos

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Ja, endlich ist der Groschen gefallen!
Jetzt hast du es verstanden smile

smile

mY+

09.02.2016, 14:58

Fenja

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Vielen lieben Dank !

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