Fourierkoeffizienten berechnen

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Hansfreddy Auf diesen Beitrag antworten »
Fourierkoeffizienten berechnen
Hallo zusammen

Ich versuche momentan für Bildverarbeitung die Fourieranalyse zu verstehen.
Dazu habe ich mich an dem ersten Beispiel auf dieser Seite versucht:

mathe-online.at/mathint/fourier/i.html#Beispiele

Da soll eine Fourierreihe für die Sägezahnfunktion (f(x) = x für -pi < x < pi) erstellt werden.

Soviel weiss ich bis jetzt:
-Die Funktion ist asymmetrisch, da f(-x) = -f(x) ist.
-Weil f asymmetrisch ist, kann ich a0, a1, ... weglassen, weil die alle 0 sind
b0 ist auch null, weil sin(0) = 0 ist.

Was mir absolut unklar ist: Auf der Seite wird eine tolle Formel zur Berechnung der Koeffizienten für diese Funktion gezeigt: (Formel 24, mathe-online.at/mathint/fourier/i.html#24)
Wie kommt man auf diese Formel?

Grüsse
hansfreddy
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierkoeffizienten berechnen
Willkommen im Matheboard!

Wenn Du das Integral berechnest und weßt, wann Sinus und Cosinus die Werte 1 bzw. -1 annehmen, wird es bestimmt klarer. Ansonsten helfen wir gern.

Viele Grüße
Steffen
Hansfreddy Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Steffen
Danke für deine Wilkommensgrüsse smile

Also Sinus wird bei Pi 0, Cosinus bei Pi -1
Leider sind meine letzten Integrierungsversuche schon zu lange her und desshalb bin ich ein bisschen unsicher.


F(x) = (1/2)x^2
F(sin(x)) = -cos(x) //wie war das - das Argument von sin(x) bleibt wie es ist oder?

Danach wäre es eigentlich 1/pi * (F(pi) - F(-pi))

Stimmt es, dass:
F(x * sin (n x)) = 1/2x^2 * -cos(x)

?

Sorry, aber ich muss mich da echt langsam drannarbeiten unglücklich Augenzwinkern
Wäre super, wenn mich jemand ein wenig durchführen könnte

liebe Grüsse
Hansfreddy
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt so leider nicht.

Ich schlage vor, zum Ranarbeiten schaust Du Dir erst einmal unseren Workshop an: [WS] Integralrechnung

Denn partielle Integration ist eigentlich kein Hochschulthema...

Fragen kannst Du natürlich gerne hier reinstellen.

Viele Grüße
Steffen
Hansfreddy Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Steffen

Vielen Dank für den Link - da kommen alte Erinnerungen hoch =)
Habe mich jetzt noch einmal eingearbeitet und verstehe glaube ich zumindest die perielle Integration wieder so einigermassen, aber weiter komme ich noch immer nicht:

Zuerst zum Integral von:


Ich wähle dabei x als f(x) und sin(nx) als g'(x)
Dies ergibt meiner Meinung nach



das Integral von -cos(nx) müsste dann -sin(nx) sein

und das ergibt dann:



Nachdem wir das berechnet haben, können wir das in die ursprüngliche Formel für bn einsetzen:

Ursprüngliche Formel:
Formel für bn berechnen:

Da kommt aber leider immer noch nicht das richtige dabei raus.
Was mache ich falsch? Ich glaube ich bin ziemlich auf dem Holzweg unglücklich

liebe Grüsse
Hansfreddy

(Aber ich gebe mir wirklich Mühe Augenzwinkern )
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist nah dran.

Aber das Integral von sin(nx) ist nicht -cos(nx), und das Integral von -cos(nx) ist auch nicht -sin(nx). Probier's aus, wenn Du's nicht glaubst, dann merkst Du auch bestimmt, was richtig ist. Oder lies den Workshop noch mal durch.
 
 
Hansfreddy Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Steffen

Also, inzwischen habe ich folgendes berechnet (mit der Substitutionsregel):





Dann bin ich ja eigentlich bis zu den Punkt gekommen:


Zuerst noch den Faktor aus dem Integral ziehen:


Das hintere Integral kann ich jetzt auflösen, dann steht da:



Mir ist aber ehrlich gesagt nicht ganz klar, warum ich im vorderen Teil jetzt noch ein x stehen hab?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht doch um die Stammfunktion von x*sin(nx). Da hast Du nun bis hierher richtig gerechnet:



Nun bist Du etwas zu schnell gewesen. Löse erst das Integral auf, und dann setze in die Stammfunktion die Grenzen ein.
Hansfreddy Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Steffen

So, ich glaube jetzt hab ichs =)
Wenn ich hier

das Integral auflöse, bekomme ich



Was dann zu der kompletten Rechnung für den Koeffizienten führt:


(Ich habe hier jetzt extra naiv die Zahlen eingefüllt)

Durch Ausrechnen bekommt man dann für

1: 2
2: -1
usw.

Eigentlich bin ich jetzt ja fertig oder?
Eine Frage: An was liegt es, dass meine Lösung so viel weniger elegant ist als die auf der verlinkten Webseite?

Grüsse, und vielen vielen Dank=)
Hansfreddy
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Du bist fertig. Die fehlende Eleganz bekommst Du, wie gesagt, wenn Du z.B. mit dem Wissen um , , , usw. die Gleichung etwas weiter umformst und vereinfachst.

Insbesondere gibt es eben einen eleganten Ausdruck für .
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