Diffeomorphismus zeigen/ Umkehrsatz

17.01.2016, 18:37	Altan	Auf diesen Beitrag antworten »
Diffeomorphismus zeigen/ Umkehrsatz Meine Frage: Guten Tag! Ich bin neu hier und hätte eine Frage zu einer Übungsaufgabe zur Analysis 2. Die Aufgabe lautet: Geg.: S ist Teilmenge des Rn und offen, f ist element von C1(S,Rn), ferner gilt für k>0:\|f(x)?f(y)\|?k?\|x?y\| für alle x,y element S Z.z.:f wird diffeomorph auf f(S) abgebildet. Meine Ideen: Mir ist jetzt klar wie das zu zeigen ist. Ich habe bisher gezeigt: f ist bijektiv f ist offensichtlich element C1(S) Nun möchte ich den Satz über die Umkehrfunktion anwenden. Ich muss also zeigen, dass die Determinant der Jacobimatrix von f ungleich null ist. Da liegt auch schon mein problem. Ich finde keine Aussage über die definitheit oder sonstiges was mit helfen würde. Vielen Dank im Vorraus.:-)
17.01.2016, 18:59	Altan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diffeomorphismus zeigen/ Umkehrsatz Es sollte heißen: k>0:\|f(x)-f(y)\|>=k*\|x-y\|
17.01.2016, 19:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diffeomorphismus zeigen/ Umkehrsatz Zeige am besten, dass $\begin{eqnarray} Df(x_0) \end{eqnarray}$ fuer allgemeines $\begin{eqnarray} x_0 \in S \end{eqnarray}$ invertierbar ist. Nach Linearer Algebra ist das genau dann der Fall, wenn der Kern nur die 0 enthaelt. Sei also $\begin{eqnarray} v \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ eine beliebige Richtung. Dann ist $\begin{eqnarray} 0 = Df(x_0)v = (\partial_v f)(x_0) = \lim_{t \to 0} \frac { f(x_0 + tv) - f(x_0)} t \end{eqnarray}$ . Folgere mit der Abschaetzung daraus schliesslich $\begin{eqnarray} v = 0 \end{eqnarray}$ .

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