Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2

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AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich bin momentan daran ein Skript durchzuarbeiten und habe folgende Abbildung gegeben: . Und jetzt wurde die Umkehrfunktion von f mit r^2=x^2+y^2 bestimmt...

Meine Ideen:
Ich habe die Lösung vor mir liegen...komme allerdings auf keinen Lösungsweg...wenn ich x=rcosw umformen möchte, z.B. in r=x/cosw und das dann in y=rsinw einsetzte erhalte ich zum Beispiel y=(x/cosw)*sinw, aber das x fällt mir nie weg...hat jemand eine Idee, wie ich vorgehen muss?
Vielen lieben Dank schon einmal an alle!
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RE: Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2
Hm, mir ist jetzt nicht klar, was du eigentlich machen willst. verwirrt
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2
Also ich will die Umkehrfunktion von f bestimmen,und da sollte dann für y größer gleich 0 (r, arccos(x/r))^T herauskommen und für y<0 (r, 2Pi-arccos(x/r))^T und ich weiß absolut nicht wie ich darauf kommen soll, weil ich auf dem Schlauch stehe ;-(
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RE: Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2
Also wie du das r bestimmen kannst, sollte klar sein?
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2
Ich weiß dass gilt: r^2=x^2+y^2, da ja x=rcosw, aber ich weiß nicht, wie ich nun weiterkommen soll...Sorry, aber ich schau die Funktion schon so lange an, dass ich nichts mehr sehe ;-(
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RE: Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2
Du wirst ja wohl die Gleichung r² = x² + y² nach r auflösen können? Denke daran, daß die Funktionsvariablen x und y vorgegeben sind.
 
 
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2
Ja klar, dann habe ich ...aber jetzt habe ich doch r in Abhängigkeit von x und y dargestellt...ich weiß nicht, inwiefern mich das weiterbringt? Bzw. ich kann dann das x=rcos w nach w auflösen und erhalte w=arccos(x/r)...mein Problem ist nun, wie komme ich auf die "Fallunterscheidung", also auf das 2Pi im zweiten Fall und warum steht denn beides Mal in die ersten Komponente das r? Irgendwie stehe ich immer noch auf dem Schlauch...
Vielen Dank schon einmal...
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RE: Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2
Zitat:
Original von AnnaNatascha
Ja klar, dann habe ich ...aber jetzt habe ich doch r in Abhängigkeit von x und y dargestellt...ich weiß nicht, inwiefern mich das weiterbringt?

Mir scheint, so ganz hast du das Thema nicht verstanden. Die Funktion f bildet einen Punkt in Polarkoordinaten (r, omega) auf einen Punkt (x, y) in kartesischen Koordinaten ab. Die Umkehrfunktion muß also aus einem Punkt (x, y) den Punkt (r, omega) wiederherstellen. Das r hast du ja jetzt. Nun mußt du noch auf eine geeignete Weise den Winkel omega bestimmen.
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2
Okay...
Also ich habe ja schon oben geschrieben, dass man x=rcos w nach w auflösen kann und man erhält dann w=arccos(x/r), d.h. ich habe dann die Umkehrfunktion (r, arccos(x/r))^T wenn y positiv ist...mein Problem ist allerdings immer noch der Fall wenn y negativ ist...Kannst du mir hierfür einen Tipp geben? Wie komme ich auf (r, 2Pi-arccos(x/r))^T?
Vielen lieben Dank.
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RE: Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2
Zitat:
Original von AnnaNatascha
Wie komme ich auf (r, 2Pi-arccos(x/r))^T?

Schau dir das doch mal im Koordinatensystem an, wie der Winkel omega zu berechnen ist, wenn das y negativ ist. Du solltest dann auf kommen.
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2
Also ich habe mir das ganze nocheinmal angeschaut, steige aber immer noch nicht durch, generell kann ich doch sagen, dass gilt: arccos(a)=Pi-arccos(-a) oder? Aber wieso taucht hier dann das 2Pi auf und nicht Pi? Tut mir echt leid, dass ich es nicht verstehe Gott
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion Polarkoordinaten im R^2
Schauen wir uns doch mal die Kosinusfunktion im gesamten Intervall an:



Wir wissen, dass unser Polarkoordinatenwinkel in den Quadranten I und II (dort ist y>0) im Bereich liegt, und in den Quadranten III und IV (dort ist y<0) dagegen im Bereich liegt.

In allen Fällen ist , die Umkehrfunktion liefert aber nur Werte in , passt daher nur in den ersten beiden Quadranten. Für die letzten beiden Quadranten muss man eben die auch aus dem Graph erkennbare Symmetrie nutzen!

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Das mit dem statt verwechselst du vielleicht mit der Sinusfunktion:



Dort ist in der Tat .
AnnaNatascha Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank!
Das hat mir wirklich sehr weitergeholfen...
Und ja, das stimmt, ich war irgendwie plötzlich beim sin gelandet Hammer
DANKE! smile
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