Charakteristisches Polynom

18.01.2016, 11:09	SinusBanana	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom Meine Frage: Hey, ich habe eine Frage bzgl. eines Aufgabe, weiß auch garnicht so genau wie ich da ran gehen soll. Die Aufgabe lautet wie folgt: Sei K ein Körper. Sei A $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M_{2} (K) mit charakteristischem Polynom p_{A}= x^2+ $\begin{eqnarray} \gamma_{1} \end{eqnarray}$ x + $\begin{eqnarray} \gamma_{2} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass A^2+ $\begin{eqnarray} \gamma_{1} \end{eqnarray}$ A+ $\begin{eqnarray} \gamma_{2} \end{eqnarray}$ Id= 0 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M_{2} (K). Meine Ideen: Ich habe leider keine Ahnung was für einen Ansatz ich wählen soll: Das charakteristische Polynom wurde bei uns als $\begin{eqnarray} p_{A} \end{eqnarray}$ = det(xId-A)=0 definiert. Ich hätte jetzt versucht zu zeigen, dass beide die gleichen Nullstellen haben, somit die gleichen Eigenvektoren besitzenn und beide aus $\begin{eqnarray} M_{2} \end{eqnarray*}$ (K) kommen. Scheint wohl aber ein krummer Gedanke zu sein. Ich wär Euch also dankbar, wenn Ihr mir kleine Schritte vorgeben könntet, sodass ich den restlichen Weg zum Endergebnis hin selber "meistern" kann. Vielen Dank
18.01.2016, 11:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es, wenn Du die Matrix ganz einfach in das charakteristische Polynom einsetzt und ausrechnest ?
18.01.2016, 11:59	SinusBanana	Auf diesen Beitrag antworten »
Super danke, das ging auf !
18.01.2016, 12:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muss so sein. Das gilt übrigens nicht nur für 2x2-Matrizen sondern nach dem Satz von Cayley-Hamilton für alle quadratischen Matrizen (https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cayley-Hamilton)
18.01.2016, 15:18	SinusBanana	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs mir mal angeschaut, interessante Sache, danke
18.01.2016, 23:21	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, was du eingesetzt hast, aber das naheliegende $\begin{eqnarray} p_{A}(A)= det(AId-A)=det(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist meines Erachtens falsch. Links steht ein Endomorphismus, rechts eine Zahl.
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19.01.2016, 07:43	SinusBanana	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja es war ja $\begin{eqnarray} p_{A} \end{eqnarray}$ = det(xId-A)=0 und nicht AId-A Jedenfalls habe ich die Matrix A Element von M2(K) aufgestellt, also A=(a,b,c,d) 2x2 Matrix. Mittels der habe ich dann das allgemeine charakteristische Polynom berechnet und mit dem ersten gegebenen charakteristischen Polynom 'abgeglichen'. Ich konnte dadurch dann meine gammas berechnen und habe diese dann einfach ins zweite charak. Polynom einsetzen mit dem Ergebnis, dass es aufgegangen ist, also gleich Null war. Sollte eigentlich so stimmen. Dank Dir aber .
19.01.2016, 11:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Ich habe es genau so gemacht, und es geht prima auf. $\begin{eqnarray} p_A(x)=x^2-(a+d)x+ad-bc\Rightarrow p_A(A)=...=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

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